Дано: А(4 ; - 5), В(-8;-6), С(5 ;9). Найти: а) координаты вектора АС; б) длину вектора ВС; в) координаты середины отрезка АВ; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы СМ.
Дано: А(4 ; - 5), В(-8;-6), С(5 ;9). Найти: а) координаты вектора АС; б) длину вектора ВС; в) координаты середины отрезка АВ; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы СМ.
Для решения задачи разберем каждый пункт по порядку:
а) Координаты вектора АС: Чтобы найти координаты вектора АС, вычтем координаты точки А из координат точки С: [ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (5 - 4, 9 - (-5)) = (1, 14) ] Таким образом, координаты вектора АС равны (1, 14).
б) Длина вектора ВС: Длина вектора между двумя точками (B(x_B, y_B)) и (C(x_C, y_C)) находится по формуле: [ \text{длина} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} ] [ = \sqrt{(5 - (-8))^2 + (9 - (-6))^2} = \sqrt{(5 + 8)^2 + (9 + 6)^2} = \sqrt{13^2 + 15^2} = \sqrt{169 + 225} = \sqrt{394} \approx 19.85 ]
в) Координаты середины отрезка АВ: Середина отрезка между точками А и В найдется как среднее арифметическое их координат: [ x_{сер} = \frac{x_A + xB}{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ] [ y{сер} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-5 - 6}{2} = \frac{-11}{2} = -5.5 ] Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (-2, -5.5).
г) Периметр треугольника АВС: Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. Для этого найдем длины остальных сторон треугольника: [ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-8 - 4)^2 + (-6 + 5)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145} \approx 12.04 ] [ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(5 - 4)^2 + (9 - (-5))^2} = \sqrt{1 + 14^2} = \sqrt{1 + 196} = \sqrt{197} \approx 14.04 ] Периметр ( P = AB + BC + AC = 12.04 + 19.85 + 14.04 \approx 45.93 )
д) Длина медианы СМ: Медиана СМ - это отрезок, соединяющий вершину С с серединой противоположной стороны AB. Мы уже нашли координаты этой середины, поэтому можем найти длину медианы: [ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-5.5 - 9)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-14.5)^2} = \sqrt{49 + 210.25} = \sqrt{259.25} \approx 16.1 ]
Таким образом, мы нашли все необходимые параметры треугольника АВС.
а) Вектор АС: (-1; 14) б) Длина вектора ВС: √((5+8)^2 + (9+6)^2) = √(13^2 + 15^2) = √(169 + 225) = √394 в) Середина отрезка АВ: (-2; -5.5) г) Периметр треугольника АВС: AB + AC + BC = √((-8-4)^2 + (-6+5)^2) + √((-8-5)^2 + (-6-9)^2) + √((4-5)^2 + (-5-9)^2) = √(12^2 + 1^2) + √(13^2 + 15^2) + √(1^2 + 14^2) = √(145) + √(394) + √(197) д) Длина медианы СМ: √((-8+5)^2 + (-6-9)^2) = √(3^2 + 15^2) = √(9 + 225) = √234
а) Координаты вектора АС можно найти вычислив разность координат точки C и точки A: Вектор АС = (5 - 4; 9 - (-5)) = (1; 14)
б) Для нахождения длины вектора ВС используем формулу длины вектора: |ВС| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) |ВС| = √((-8 - 5)^2 + (-6 - 9)^2) |ВС| = √((-13)^2 + (-15)^2) |ВС| = √(169 + 225) |ВС| = √394
в) Координаты середины отрезка АВ можно найти, как среднее арифметическое координат концов отрезка: Середина отрезка АВ = ((4 - 8)/2; (-5 - (-6))/2) = (-2; -5.5)
г) Для нахождения периметра треугольника АВС нужно вычислить сумму длин его сторон: Периметр треугольника АВС = |АВ| + |ВС| + |СА|
д) Длина медианы СМ равна половине длины стороны треугольника, которой она проведена. Так как медиана проведена к стороне АВ, то длина медианы СМ равна половине длины стороны АВ.
