Дан треугольник со сторонами 4,8,9.Найдите квадрат длины биссектрисы ,проведенной к большей стороне.

Для нахождения квадрата длины биссектрисы, проведенной к большей стороне треугольника, нам необходимо воспользоваться формулой для длины биссектрисы, которая равна:

$l=\sqrt{bc(1-{\left(\frac{a}{b+c}\right)}^2)}$

Где a, b, c - стороны треугольника, а l - длина биссектрисы, проведенной к стороне a.

Подставляя значения из условия $a=9,b=8,c=4$, получаем:

$l=\sqrt{8\ast 4(1-{\left(\frac{9}{8+4}\right)}^2)}$

$l=\sqrt{32(1-{\left(\frac{9}{12}\right)}^2)}$

$l=\sqrt{32(1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2)}$

$l=\sqrt{32(1-\frac{9}{16})}$

$l=\sqrt{32\left(\frac{7}{16}\right)}$

$l=\sqrt{14}$

Следовательно, квадрат длины биссектрисы, проведенной к большей стороне треугольника, равен 14.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника и формулой для нахождения длины биссектрисы.

Пусть треугольник $ABC$ с длинами сторон $AB=4$, $BC=9$ и $CA=8$. Нам нужно найти квадрат длины биссектрисы, проведенной к стороне $BC$.

Обозначим длину биссектрисы, проведенной к стороне $BC$ как $L$. Согласно формуле для длины биссектрисы треугольника:

$L=\sqrt{ab(1-\frac{c^2}{(a+b{)}^2})}$

где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, причем $c$ — сторона, к которой проведена биссектриса.

Пусть $a=4$, $b=8$ и $c=9$. Подставим эти значения в формулу:

$L=\sqrt{4\cdot 8(1-\frac{9^2}{(4+8{)}^2})}$

Сначала найдем сумму $a+b$:

$a+b=4+8=12$

Теперь найдём квадрат этой суммы:

$(a+b{)}^2={12}^2=144$

Далее найдём квадрат стороны $c$:

$c^2=9^2=81$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

$L=\sqrt{4\cdot 8(1-\frac{81}{144})}$

Вычислим дробь:

$\frac{81}{144}=0.5625$

Теперь вычтем это значение из 1:

$1-0.5625=0.4375$

Теперь умножим $4\cdot 8$:

$4\cdot 8=32$

И подставим:

$L=\sqrt{32\cdot 0.4375}$

Выполним умножение внутри корня:

$32\cdot 0.4375=14$

Теперь извлечем квадратный корень:

$L=\sqrt{14}$

Теперь найдём квадрат длины биссектрисы:

$L^2=(\sqrt{14}{)}^2=14$

Таким образом, квадрат длины биссектрисы, проведенной к большей стороне треугольника, равен $14$.

Длина биссектрисы равна 4,8.