Дан треугольник со сторонами 4,8,9.Найдите квадрат длины биссектрисы ,проведенной к большей стороне.

Для нахождения квадрата длины биссектрисы, проведенной к большей стороне треугольника, нам необходимо воспользоваться формулой для длины биссектрисы, которая равна:

[ l = \sqrt{bc \left(1 - \left( \frac{a}{b+c}\right)^2\right)} ]

Где a, b, c - стороны треугольника, а l - длина биссектрисы, проведенной к стороне a.

Подставляя значения из условия (a=9, b=8, c=4), получаем:

[ l = \sqrt{8*4 \left(1 - \left( \frac{9}{8+4}\right)^2\right)} ]

[ l = \sqrt{32 \left(1 - \left( \frac{9}{12}\right)^2\right)} ]

[ l = \sqrt{32 \left(1 - \left( \frac{3}{4}\right)^2\right)} ]

[ l = \sqrt{32 \left(1 - \frac{9}{16}\right)} ]

[ l = \sqrt{32 \left(\frac{7}{16}\right)} ]

[ l = \sqrt{14} ]

Следовательно, квадрат длины биссектрисы, проведенной к большей стороне треугольника, равен 14.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника и формулой для нахождения длины биссектрисы.

Пусть треугольник (ABC) с длинами сторон (AB = 4), (BC = 9) и (CA = 8). Нам нужно найти квадрат длины биссектрисы, проведенной к стороне (BC).

Обозначим длину биссектрисы, проведенной к стороне (BC) как (L). Согласно формуле для длины биссектрисы треугольника:

[ L = \sqrt{ab \left( 1 - \frac{c^2}{(a+b)^2} \right)} ]

где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, причем (c) — сторона, к которой проведена биссектриса.

Пусть (a = 4), (b = 8) и (c = 9). Подставим эти значения в формулу:

[ L = \sqrt{4 \cdot 8 \left( 1 - \frac{9^2}{(4 + 8)^2} \right)} ]

Сначала найдем сумму (a + b):

[ a + b = 4 + 8 = 12 ]

Теперь найдём квадрат этой суммы:

[ (a + b)^2 = 12^2 = 144 ]

Далее найдём квадрат стороны (c):

[ c^2 = 9^2 = 81 ]

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

[ L = \sqrt{4 \cdot 8 \left( 1 - \frac{81}{144} \right)} ]

Вычислим дробь:

[ \frac{81}{144} = 0.5625 ]

Теперь вычтем это значение из 1:

[ 1 - 0.5625 = 0.4375 ]

Теперь умножим (4 \cdot 8):

[ 4 \cdot 8 = 32 ]

И подставим:

[ L = \sqrt{32 \cdot 0.4375} ]

Выполним умножение внутри корня:

[ 32 \cdot 0.4375 = 14 ]

Теперь извлечем квадратный корень:

[ L = \sqrt{14} ]

Теперь найдём квадрат длины биссектрисы:

[ L^2 = (\sqrt{14})^2 = 14 ]

Таким образом, квадрат длины биссектрисы, проведенной к большей стороне треугольника, равен (14).

Длина биссектрисы равна 4,8.