Дан треугольник с вершинами в точках А(7;3;-2),B(1;3;6),C(0;0;-1)
а) Найдите длину средней линии треугольника,параллельной стороне AB
б)Докажите,что треугольник ABC-равнобедренный,и укажите его основание.
Дан треугольник с вершинами в точках А(7;3;-2),B(1;3;6),C(0;0;-1)
а) Найдите длину средней линии треугольника,параллельной стороне AB
б)Докажите,что треугольник ABC-равнобедренный,и укажите его основание.
а) Для начала найдем координаты середины стороны AB. Для этого возьмем среднее арифметическое координат точек A и B: Mx = (7+1)/2 = 4 My = (3+3)/2 = 3 Mz = (-2+6)/2 = 2
Таким образом, координаты точки M(4;3;2). Теперь найдем вектор, параллельный стороне AB. Для этого вычтем координаты точки B из координат точки A: AB = (7-1;3-3;-2-6) = (6;0;-8)
Длина средней линии, параллельной стороне AB, равна длине вектора AB: |AB| = √(6^2 + 0^2 + (-8)^2) = √(36 + 0 + 64) = √100 = 10
Итак, длина средней линии треугольника, параллельной стороне AB, равна 10.
б) Для доказательства равнобедренности треугольника ABC найдем длины его сторон. Для этого вычислим длины сторон AB, AC и BC: AB = √(6^2 + 0^2 + (-8)^2) = 10 AC = √(7^2 + 3^2 + (-1)^2) = √(49 + 9 + 1) = √59 BC = √(1^2 + 3^2 + (6+1)^2) = √(1 + 9 + 49) = √59
Таким образом, мы видим, что AB = BC ≠ AC. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным. Основанием равнобедренного треугольника является сторона, которая не равна другим двум сторонам. В данном случае, основание треугольника ABC - сторона AB.
Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов, связанных с вычислением координат и расстояний в пространстве. Рассмотрим каждый пункт по очереди.
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AB, соединяет середины сторон AC и BC. Сначала найдем координаты середины отрезков AC и BC.
Координаты середины отрезка ( AC ): [ M_1 \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{7 + 0}{2}, \frac{3 + 0}{2}, \frac{-2 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2} \right) ]
Координаты середины отрезка ( BC ): [ M_2 \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{3 + 0}{2}, \frac{6 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) ]
Теперь найдем длину средней линии ( M_1M2 ), которая параллельна стороне AB. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве: [ d{M_1M2} = \sqrt{\left( x{M2} - x{M1} \right)^2 + \left( y{M2} - y{M1} \right)^2 + \left( z{M2} - z{M_1} \right)^2} ]
Подставим координаты: [ d_{M_1M_2} = \sqrt{\left( \frac{1}{2} - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) \right)^2} ] [ = \sqrt{\left( -3 \right)^2 + 0^2 + \left( \frac{8}{2} \right)^2} ] [ = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]
Средняя линия параллельна стороне AB и равна половине длины стороны AB. Теперь проверим это, найдя длину стороны AB.
Длина стороны AB: [ d_{AB} = \sqrt{\left( x_B - x_A \right)^2 + \left( y_B - y_A \right)^2 + \left( z_B - z_A \right)^2} ] [ = \sqrt{\left( 1 - 7 \right)^2 + \left( 3 - 3 \right)^2 + \left( 6 - \left( -2 \right) \right)^2} ] [ = \sqrt{\left( -6 \right)^2 + 0^2 + \left( 8 \right)^2} ] [ = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ]
Половина длины стороны AB: [ \frac{d_{AB}}{2} = \frac{10}{2} = 5 ]
Таким образом, длина средней линии, параллельной стороне AB, равна 5.
Для этого нужно найти длины всех сторон треугольника ABC и проверить, равны ли две из них.
Длина стороны AC: [ d_{AC} = \sqrt{\left( x_C - x_A \right)^2 + \left( y_C - y_A \right)^2 + \left( z_C - z_A \right)^2} ] [ = \sqrt{\left( 0 - 7 \right)^2 + \left( 0 - 3 \right)^2 + \left( -1 - \left( -2 \right) \right)^2} ] [ = \sqrt{\left( -7 \right)^2 + \left( -3 \right)^2 + 1^2} ] [ = \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59} ]
Длина стороны BC: [ d_{BC} = \sqrt{\left( x_C - x_B \right)^2 + \left( y_C - y_B \right)^2 + \left( z_C - z_B \right)^2} ] [ = \sqrt{\left( 0 - 1 \right)^2 + \left( 0 - 3 \right)^2 + \left( -1 - 6 \right)^2} ] [ = \sqrt{\left( -1 \right)^2 + \left( -3 \right)^2 + \left( -7 \right)^2} ] [ = \sqrt{1 + 9 + 49} = \sqrt{59} ]
Мы видим, что ( AC = BC = \sqrt{59} ). Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и сторона AB является его основанием.
а) Для того чтобы найти длину средней линии треугольника, параллельной стороне AB, нужно найти середину отрезка AB и провести линию параллельную AB, проходящую через эту точку.
б) Для доказательства равнобедренности треугольника ABC нужно показать, что длины двух сторон равны. Основание равнобедренного треугольника - это сторона, противолежащая наименьшему углу. В данном случае, основание треугольника ABC будет сторона BC.
