Дан прямоугольник ABCD, О точка пересечения его диагоналей, известно что точкиA,B и О лежат в одной...

Для доказательства того, что точки C и D лежат в плоскости α, рассмотрим треугольники AOC и BOD.

По условию, точки A, B и O лежат в одной плоскости α. Также известно, что диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Таким образом, точка O является общей вершиной обоих треугольников AOC и BOD.

Рассмотрим плоскости, содержащие треугольники AOC и BOD. Поскольку обе плоскости содержат общий отрезок OD (диагональ прямоугольника), а также точку O, которая принадлежит обеим плоскостям, то эти две плоскости совпадают. Следовательно, все точки, принадлежащие треугольнику BOD, включая точку D, также лежат в плоскости α.

Точно так же можно доказать, что точка C лежит в плоскости α. Таким образом, точки C и D действительно лежат в плоскости α.

В прямоугольнике ABCD точки A, B, C и D являются вершинами, а точка O – точкой пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали делятся пополам в точке их пересечения и равны друг другу. Таким образом, точка O является серединой как диагонали AC, так и диагонали BD.

Если точки A, B и O лежат в одной плоскости альфа, это означает, что диагональ AC, часть которой является отрезок AO, также полностью находится в этой плоскости. Поскольку O – середина AC, вся диагональ AC, включая точку C, должна лежать в плоскости альфа.

Теперь рассмотрим диагональ BD. Поскольку O – это середина BD и она уже лежит в плоскости альфа (поскольку O также принадлежит диагонали AC, которая полностью лежит в альфа), вся диагональ BD, включая точку D, также должна лежать в плоскости альфа.

Итак, мы показали, что если точки A, B и O лежат в плоскости альфа, то и точки C и D, как части диагоналей AC и BD, пересекающихся в точке O, также должны лежать в этой плоскости. Таким образом, все вершины прямоугольника ABCD находятся в плоскости альфа.