Дан параллелограмм ABCD. O - точка пересечения диагоналей. Найдите векторы OA-OB, CD+2DO, AB+BD+DC

Для начала найдем векторы OA, OB, CD, DO, AB, BD и DC.

OA = A - O OB = B - O CD = D - C DO = O - D AB = B - A BD = D - B DC = C - D

Теперь найдем требуемые векторы:

1. OA - OB = (A - O) - (B - O) = A - B

2. CD + 2DO = (D - C) + 2(O - D) = D - C + 2O - 2D = -C + D + 2O

3. AB + BD + DC = (B - A) + (D - B) + (C - D) = B - A + D - B + C - D = C - A

Итак, векторы OA - OB, CD + 2DO и AB + BD + DC равны соответственно A - B, -C + D + 2O и C - A.

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с точкой (O) как точкой пересечения диагоналей. В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что точка (O) является серединой как диагонали (AC), так и диагонали (BD).

1. Найти вектор ( \mathbf{OA} - \mathbf{OB} ):

   Для начала, поскольку (O) — середина диагонали (AC), вектор ( \mathbf{OA} ) может быть выражен через векторы ( \mathbf{OC} ) и ( \mathbf{AC} ): [ \mathbf{OA} = \mathbf{OC} + \frac{1}{2} \mathbf{AC} ]

   Поскольку (O) также является серединой диагонали (BD), вектор ( \mathbf{OB} ) может быть выражен через векторы ( \mathbf{OD} ) и ( \mathbf{BD} ): [ \mathbf{OB} = \mathbf{OD} + \frac{1}{2} \mathbf{BD} ]

   В параллелограмме (ABCD), ( \mathbf{AC} = \mathbf{BD} ), следовательно: [ \mathbf{OA} - \mathbf{OB} = \left(\mathbf{OC} + \frac{1}{2} \mathbf{AC}\right) - \left(\mathbf{OD} + \frac{1}{2} \mathbf{BD}\right) ]

   Поскольку ( \mathbf{AC} = \mathbf{BD} ), получается: [ \mathbf{OA} - \mathbf{OB} = \mathbf{OC} - \mathbf{OD} ]

2. Найти вектор ( \mathbf{CD} + 2\mathbf{DO} ):

   Точка (O) — середина (AC), значит: [ \mathbf{DO} = \frac{1}{2} \mathbf{DC} ]

   Подставим: [ \mathbf{CD} + 2\mathbf{DO} = \mathbf{CD} + 2 \times \frac{1}{2} \mathbf{DC} = \mathbf{CD} + \mathbf{DC} = \mathbf{CD} + \mathbf{CD} = 2\mathbf{CD} ]

3. Найти вектор ( \mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} ):

   Сначала заметим, что вектор ( \mathbf{BD} ) в параллелограмме является диагональю, а векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{DC} ) — противоположными сторонами. Следовательно: [ \mathbf{AB} + \mathbf{DC} = \mathbf{AC} ]

   Поскольку ( \mathbf{BD} = \mathbf{AC} ), то: [ \mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = \mathbf{AC} + \mathbf{AC} = 2\mathbf{AC} ]

Таким образом, векторы равны:

• ( \mathbf{OA} - \mathbf{OB} = \mathbf{OC} - \mathbf{OD} )
• ( \mathbf{CD} + 2\mathbf{DO} = 2\mathbf{CD} )
• ( \mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = 2\mathbf{AC} )