Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 докажите что: AB перпендикулярна СС1 и DD1 перпендикулярна A1B1, если...

Давайте подробно рассмотрим данный вопрос и докажем утверждения.

Итак, у нас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Чтобы доказать, что $AB$ перпендикулярна $C{C}_1$ и $D{D}_1$ перпендикулярна $A_1{B}_1$, если $AB$ перпендикулярна $D{D}_1$, нужно использовать свойства прямых и плоскостей в пространстве.

1. Доказательство того, что $AB\perp C{C}_1$

Условие: $AB\perp D{D}_1$

Шаги доказательства:

1. Рассмотрим прямые $AB$ и $D{D}_1$:

   • $AB$ — это ребро основания параллелепипеда.
   • $D{D}_1$ — вертикальное ребро параллелепипеда.

   Поскольку $AB$ перпендикулярна $D{D}_1$, это означает, что $AB$ лежит в горизонтальной плоскости основания и перпендикулярна вертикальной линии $D{D}_1$.

2. Рассмотрим прямую $C{C}_1$:

   • $C{C}_1$ — также вертикальное ребро параллелепипеда.

   Так как $D{D}_1$ и $C{C}_1$ являются ребрами параллелепипеда и вертикальны, они параллельны друг другу.

3. Перпендикулярность прямой к плоскости:

   • Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

   Таким образом, если $AB$ перпендикулярна $D{D}_1$, то она также перпендикулярна и $C{C}_1$.

Вывод: $AB\perp C{C}_1$

2. Доказательство того, что $D{D}_1\perp A_1{B}_1$

Условие: $AB\perp D{D}_1$

Шаги доказательства:

1. Рассмотрим прямые $D{D}_1$ и $A_1{B}_1$:

   • $D{D}_1$ — вертикальное ребро параллелепипеда.
   • $A_1{B}_1$ — горизонтальное ребро верхней грани параллелепипеда, параллельное $AB$.

2. Параллельность ребер:

   • Поскольку $A_1{B}_1$ параллельно $AB$, если $AB$ перпендикулярна $D{D}_1$, то и любая прямая, параллельная $AB$, будет перпендикулярна $D{D}_1$.

3. Перпендикулярность прямой к плоскости:

   • Как было сказано ранее, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

   Так как $AB\perp D{D}_1$, а $A_1{B}_1\parallel AB$, следовательно, $D{D}_1\text{per}пA_1{B}_1$.

Вывод: $D{D}_1\text{per}пA_1{B}_1$

Заключение

Мы доказали, что $AB\text{per}пC{C}_1$ и $D{D}_1\text{per}пA_1{B}_1$, исходя из условия $AB\text{per}пD{D}_1$. Это основано на свойствах перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей в пространстве, а также на структуре параллелепипеда.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABDC. Так как AB перпендикулярна DD1, то AB параллельна D1D $таккакперпендикулярныепрямыепараллельны$. Также, так как AB параллельна D1D и AD параллельна D1C1 $таккакAD||BCиD1C1||BC$, то AB параллельна C1D1 $таккакпараллельныепрямыесохраняютпараллельность$. Из этого следует, что AB перпендикулярна C1C $таккакABпараллельнаC1D1иC1C1||AB$.

Аналогично, рассмотрим параллелограмм A1B1C1D1. Так как AB перпендикулярна DD1, то AB параллельна DD1. Также, так как AB параллельна DD1 и A1B1 параллельна D1C1 $таккакAB||A1B1иDD1||A1D1$, то AB параллельна A1B1. Из этого следует, что DD1 перпендикулярна A1B1 $таккакABпараллельнаA1B1иDD1перпендикулярнаAB$.

Таким образом, мы доказали, что если AB перпендикулярна DD1, то AB перпендикулярна C1C и DD1 перпендикулярна A1B1.

Дано: AB перпендикулярна DD1 Доказательство:

1. AB перпендикулярна DD1 $дано$
2. AB параллельна A1B1 $свойствопараллелограмма$
3. DD1 параллельна C1D1 $свойствопараллелограмма$
4. AB перпендикулярна СС1 и DD1 перпендикулярна A1B1 $свойствопараллелограмма$

Таким образом, доказано, что AB перпендикулярна СС1 и DD1 перпендикулярна A1B1.