Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 докажите что: AB перпендикулярна СС1 и DD1 перпендикулярна A1B1, если...

Давайте подробно рассмотрим данный вопрос и докажем утверждения.

Итак, у нас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Чтобы доказать, что ( AB ) перпендикулярна ( CC_1 ) и ( DD_1 ) перпендикулярна ( A_1B_1 ), если ( AB ) перпендикулярна ( DD_1 ), нужно использовать свойства прямых и плоскостей в пространстве.

1. Доказательство того, что ( AB \perp CC_1 )

Условие: ( AB \perp DD_1 )

Шаги доказательства:

1. Рассмотрим прямые ( AB ) и ( DD_1 ):

   • ( AB ) — это ребро основания параллелепипеда.
   • ( DD_1 ) — вертикальное ребро параллелепипеда.

   Поскольку ( AB ) перпендикулярна ( DD_1 ), это означает, что ( AB ) лежит в горизонтальной плоскости основания и перпендикулярна вертикальной линии ( DD_1 ).

2. Рассмотрим прямую ( CC_1 ):

   • ( CC_1 ) — также вертикальное ребро параллелепипеда.

   Так как ( DD_1 ) и ( CC_1 ) являются ребрами параллелепипеда и вертикальны, они параллельны друг другу.

3. Перпендикулярность прямой к плоскости:

   • Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

   Таким образом, если ( AB ) перпендикулярна ( DD_1 ), то она также перпендикулярна и ( CC_1 ).

Вывод: ( AB \perp CC_1 )

2. Доказательство того, что ( DD_1 \perp A_1B_1 )

Условие: ( AB \perp DD_1 )

Шаги доказательства:

1. Рассмотрим прямые ( DD_1 ) и ( A_1B_1 ):

   • ( DD_1 ) — вертикальное ребро параллелепипеда.
   • ( A_1B_1 ) — горизонтальное ребро верхней грани параллелепипеда, параллельное ( AB ).

2. Параллельность ребер:

   • Поскольку ( A_1B_1 ) параллельно ( AB ), если ( AB ) перпендикулярна ( DD_1 ), то и любая прямая, параллельная ( AB ), будет перпендикулярна ( DD_1 ).

3. Перпендикулярность прямой к плоскости:

   • Как было сказано ранее, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

   Так как ( AB \perp DD_1 ), а ( A_1B_1 \parallel AB ), следовательно, ( DD_1 \perп A_1B_1 ).

Вывод: ( DD_1 \perп A_1B_1 )

Заключение

Мы доказали, что ( AB \perп CC_1 ) и ( DD_1 \perп A_1B_1 ), исходя из условия ( AB \perп DD_1 ). Это основано на свойствах перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей в пространстве, а также на структуре параллелепипеда.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABDC. Так как AB перпендикулярна DD1, то AB параллельна D1D (так как перпендикулярные прямые параллельны). Также, так как AB параллельна D1D и AD параллельна D1C1 (так как AD || BC и D1C1 || BC), то AB параллельна C1D1 (так как параллельные прямые сохраняют параллельность). Из этого следует, что AB перпендикулярна C1C (так как AB параллельна C1D1 и C1C1 || AB).

Аналогично, рассмотрим параллелограмм A1B1C1D1. Так как AB перпендикулярна DD1, то AB параллельна DD1. Также, так как AB параллельна DD1 и A1B1 параллельна D1C1 (так как AB || A1B1 и DD1 || A1D1), то AB параллельна A1B1. Из этого следует, что DD1 перпендикулярна A1B1 (так как AB параллельна A1B1 и DD1 перпендикулярна AB).

Таким образом, мы доказали, что если AB перпендикулярна DD1, то AB перпендикулярна C1C и DD1 перпендикулярна A1B1.

Дано: AB перпендикулярна DD1 Доказательство:

1. AB перпендикулярна DD1 (дано)
2. AB параллельна A1B1 (свойство параллелограмма)
3. DD1 параллельна C1D1 (свойство параллелограмма)
4. AB перпендикулярна СС1 и DD1 перпендикулярна A1B1 (свойство параллелограмма)

Таким образом, доказано, что AB перпендикулярна СС1 и DD1 перпендикулярна A1B1.