Дан куб ABCDA1B1C1D1, точка М – центр грани AA1D1D. Вычислите угол между векторами BM и B1C

Угол между векторами BM и B1C равен 90 градусов.

Для вычисления угла между векторами BM и B1C необходимо найти сначала сами вектора. Вектор BM можно найти как разность координат точек B и M: BM = M - B. Точка B имеет координаты (x, y, z), а точка M имеет координаты (x, y, z + a), где a - длина ребра куба. Таким образом, вектор BM имеет координаты (0, 0, a). Аналогично, вектор B1C можно найти как разность координат точек B1 и C: B1C = C - B1. Точка B1 имеет координаты (x, y, z), а точка C имеет координаты (x + a, y, z), так как C находится на той же грани куба, что и B1. Таким образом, вектор B1C имеет координаты (a, 0, 0). Далее, для вычисления угла между векторами BM и B1C воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов: cos(θ) = (BM • B1C) / (|BM| * |B1C|), где BM • B1C - скалярное произведение векторов BM и B1C, |BM| и |B1C| - длины векторов BM и B1C соответственно. Подставив значения векторов и вычислив скалярное произведение, длины векторов и угол, можно найти угол между векторами BM и B1C.

Для решения задачи найдем координаты точек и векторов в системе координат, где куб имеет сторону длиной ( a ).

1. Выбор системы координат:

   • Пусть ( A(0, 0, 0) ).
   • Тогда ( B(a, 0, 0) ), ( C(a, a, 0) ), ( D(0, a, 0) ).
   • Верхние вершины: ( A_1(0, 0, a) ), ( B_1(a, 0, a) ), ( C_1(a, a, a) ), ( D_1(0, a, a) ).

2. Координаты точки M:

   • Точка ( M ) — центр грани ( AA_1D_1D ).
   • Найдем среднее арифметическое координат вершин этой грани: [ M = \left( \frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}, \frac{0 + 0 + a + a}{4}, \frac{0 + a + a + 0}{4} \right) = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}) ]

3. Координаты векторов ( \mathbf{BM} ) и ( \mathbf{B_1C} ):

   • Вектор ( \mathbf{BM} ): [ \mathbf{BM} = M - B = \left(0 - a, \frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = (-a, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}) ]
   • Вектор ( \mathbf{B_1C} ): [ \mathbf{B_1C} = C - B_1 = (a - a, a - 0, 0 - a) = (0, a, -a) ]

4. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{BM} ) и ( \mathbf{B_1C} ): [ \mathbf{BM} \cdot \mathbf{B_1C} = (-a) \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot (-a) = 0 + \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0 ]

5. Длины векторов:

   • Длина вектора ( \mathbf{BM} ): [ |\mathbf{BM}| = \sqrt{(-a)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} ]
   • Длина вектора ( \mathbf{B_1C} ): [ |\mathbf{B_1C}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} ]

6. Угол между векторами:

   • Косинус угла между векторами определяется формулой: [ \cos \theta = \frac{\mathbf{BM} \cdot \mathbf{B_1C}}{|\mathbf{BM}| \cdot |\mathbf{B_1C}|} ]
   • Подставим известные значения: [ \cos \theta = \frac{0}{a\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot a\sqrt{2}} = 0 ]
   • Следовательно, угол ( \theta = 90^\circ ).

Таким образом, угол между векторами ( \mathbf{BM} ) и ( \mathbf{B_1C} ) составляет ( 90^\circ ).