Cos a= 1/3, найти sin a, tg a, ctg a?

Для того чтобы найти sin a, tg a и ctg a, когда cos a = 1/3, нам необходимо использовать тригонометрические тождества.

1. Начнем с того, что sin^2 a + cos^2 a = 1. Поскольку cos a = 1/3, то sin^2 a + (1/3)^2 = 1. Отсюда sin^2 a = 1 - 1/9 = 8/9. Тогда sin a = √(8/9) = 2√2/3.

2. Тангенс и котангенс могут быть выражены через синус и косинус следующим образом: tg a = sin a / cos a = (2√2/3) / (1/3) = 2√2, ctg a = cos a / sin a = (1/3) / (2√2/3) = 1 / 2√2 = √2 / 2.

Таким образом, sin a = 2√2/3, tg a = 2√2, ctg a = √2 / 2.

sin a = √(1 - cos^2 a) = √(1 - 1/9) = √8/3 tg a = sin a / cos a = (√8/3) / (1/3) = √8 ctg a = 1 / tg a = 1 / √8 = √8 / 8

Чтобы найти (\sin a), (\tan a) и (\cot a), когда (\cos a = \frac{1}{3}), можно воспользоваться основными тригонометрическими тождествами.

1. Нахождение (\sin a):

   Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ] Подставляем (\cos a = \frac{1}{3}): [ \sin^2 a + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 a + \frac{1}{9} = 1 ] [ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ] [ \sin a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} ]

   Знак (\sin a) зависит от квадранта, в котором находится угол (a). Без дополнительной информации о квадранте, в котором находится угол, мы оставляем оба варианта.

2. Нахождение (\tan a):

   Формула для тангенса: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]

   Подставляем значения: [ \tan a = \frac{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = \pm 2\sqrt{2} ]

3. Нахождение (\cot a):

   Формула для котангенса: [ \cot a = \frac{1}{\tan a} ]

   Подставляем значение: [ \cot a = \frac{1}{\pm 2\sqrt{2}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} ]

   Умножаем числитель и знаменатель на (\sqrt{2}) для рационализации знаменателя: [ \cot a = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} ]

Итак, мы получили следующие значения:

• (\sin a = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3})
• (\tan a = \pm 2\sqrt{2})
• (\cot a = \pm \frac{\sqrt{2}}{4})

Эти значения зависят от квадранта, в котором находится угол (a).