Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые А1А и В1В, не лежащие в плоскости ромба....

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами ромба и прямоугольного треугольника. Поскольку ВВ1 перпендикулярно ВС и ВВ1 перпендикулярно АВ, то треугольник ВВ1С является прямоугольным. Также, по свойству ромба, все стороны ромба равны между собой.

Из условия известно, что ВD=16, АВ=10 и А1С=13. Так как ВВ1 перпендикулярно ВС, то ВВ1 является высотой треугольника ВВ1С. Следовательно, площадь треугольника ВВ1С равна половине произведения его катетов: S(ВВ1С) = 0.5 ВС ВВ1.

С другой стороны, площадь треугольника ВВ1С равна половине произведения катета на высоту, опущенную к этому катету: S(ВВ1С) = 0.5 ВС ВС1.

Отсюда получаем уравнение: 0.5 ВС ВВ1 = 0.5 ВС ВС1.

Из условия также следует, что АВ1 перпендикулярно АВ, а значит, треугольник АВ1В является прямоугольным. Тогда А1В = АВ - ВВ1.

Так как ВВ1 = ВС1 = ВС, то ВВ1 и ВС1 равны между собой. А1В = 10 - ВС.

Так как ВВ1 перпендикулярно АВ, то угол ВВ1А1 прямой. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ВВ1А1: (ВВ1)^2 = (ВВ1А1)^2 + (А1В)^2.

Подставляем значения и находим А1А: (ВС)^2 = (ВС)^2 + (10 - ВС)^2.

Решая это уравнение, получаем, что ВС = 6. Тогда А1А = АВ - 2 ВС = 10 - 2 6 = -2.

Итак, длина отрезка А1А равна -2.

АА1 = 8.

Для решения данной задачи используем геометрические соображения и свойства ромба.

1. Понимание структуры ромба и свойств прямых:

   • Рассматриваем ромб ABCD, где AB = BC = CD = DA = 10.
   • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
   • Прямые (A_1A) и (B_1B) параллельны и перпендикулярны к соответствующим сторонам ромба (по условию, (BB_1 \perp BC) и (BB_1 \perp AB)), что значит, они перпендикулярны к плоскости ромба.

2. Нахождение длины диагонали BD:

   • Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны, используем теорему Пифагора для нахождения длин диагоналей, зная, что (BD = 16).
   • Пусть диагональ (AC = x). Тогда из равенства площадей, выраженных через диагонали ( \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} 16x = AB^2 ), получаем ( 16x = 100 \Rightarrow x = \frac{100}{16} = 6.25 ).

3. Рассмотрение точек A1 и B1:

   • Так как (A_1A) и (B_1B) перпендикулярны плоскости ромба, точки (A_1) и (B_1) лежат на одной прямой с A и B соответственно, также перпендикулярно диагоналям.
   • Принимая (A_1C = 13), рассмотрим треугольник (A_1AC), который является прямоугольным с гипотенузой (A_1C) и катетом (AC = 6.25).
   • По теореме Пифагора, найдем (A_1A): [ A_1A = \sqrt{A_1C^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 6.25^2} = \sqrt{169 - 39.0625} = \sqrt{129.9375} \approx 11.4 ]

Таким образом, длина (A_1A) приблизительно равна 11.4 единицам.