Через вершину прямого угла В прямоугольного треугольника АВС к его плоскости проведён перпендикуляр...

Для решения задачи начнем с анализа и использования известных фактов о прямоугольных треугольниках и перпендикулярах в пространстве.

1. Анализ треугольника АВС:

   • Треугольник АВС прямоугольный, угол ВАС = 45 градусов.
   • Поскольку угол ВАС равен 45 градусам, и треугольник АВС прямоугольный, то угол АВС тоже будет равен 45 градусам (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам).
   • Это значит, что треугольник АВС является равнобедренным прямоугольным треугольником.
   • В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, и гипотенуза (AC) может быть найдена по формуле для равнобедренного прямоугольного треугольника: (AC = a\sqrt{2}), где (a) — длина катета.

2. Нахождение длины катетов:

   • По условию задачи, (AC = 8\sqrt{2}) см.
   • Выразим длину катетов: (a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}).
   • Следовательно, (a = 8) см.
   • Таким образом, (AB = BC = 8) см.

3. Построение перпендикуляра ВК:

   • Перпендикуляр ВК проведен к плоскости треугольника АВС и имеет длину 7 см.

4. Определение расстояния от точки К до прямой АС:

   • Точка К находится на расстоянии 7 см от плоскости треугольника АВС. Поскольку ВК перпендикулярен плоскости треугольника, точка К также перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку В.
   • Прямая АС лежит в плоскости треугольника, и КВ является перпендикуляром к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки К до прямой АС равно длине перпендикуляра ВК.

Таким образом, расстояние от точки К до прямой АС равно длине перпендикуляра ВК, то есть:

[ \text{Расстояние от точки К до прямой АС} = 7 \text{ см}. ]

Ответ: расстояние от точки К до прямой АС равно 7 см.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим расстояние от точки К до прямой АС как х. Так как угол ВАС равен 45 градусов, то угол ВАК также равен 45 градусов (так как угол ВАК и угол ВАС - смежные).

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ВАК: Косинус угла ВАК равен отношению катета ВК к гипотенузе ВА: cos(45) = 7 / х √2 / 2 = 7 / х х = 7 √2 / 2 х = 7 √2 / 2

Таким образом, расстояние от точки К до прямой АС равно 7 * √2 / 2 см.

Расстояние от точки К до прямой АС равно 7 см.