Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B - точки касания, угол OAB=20°....

Для нахождения угла AMB можно воспользоваться теоремой о центральном угле. Угол, образованный хордой на окружности, равен углу, который он подразумевает на центральной окружности. Поскольку угол OAB равен 20°, то угол, образованный хордой AB на окружности, также равен 20°.

Так как MA и MB являются касательными к окружности с центром O, то угол AMB равен половине угла, образованного хордой AB на окружности. Таким образом, угол AMB равен 10°.

Для решения задачи нам нужно использовать свойства окружности и касательных.

1. Свойства касательных:

   • Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. То есть, ( \angle OAM = 90^\circ ) и ( \angle OBM = 90^\circ ).

2. Угол между касательными:

   • Угол между касательными, проведёнными из одной точки вне окружности, равен половине разности дуг, которые эти касательные отсекают на окружности. То есть, ( \angle AMB = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{AB} - \overset{\frown}{AB}) ), где ( \overset{\frown}{AB} ) - дуга, заключенная между точками A и B, равная ( 360^\circ - 2\angle OAB ).

3. Углы в треугольнике OAB:

   • Треугольник ( OAB ) является равнобедренным, так как ( OA = OB ) (радиусы). Поэтому углы при основаниях равны, то есть ( \angle OBA = \angle OAB = 20^\circ ).

4. Угол при вершине равнобедренного треугольника:

   • Угол ( \angle AOB ) равен ( 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ ).

5. Дуга AB:

   • Дуга ( \overset{\frown}{AB} ) равна углу ( \angle AOB = 140^\circ ).

6. Угол AMB:

   • Теперь можем найти угол между касательными: [ \angle AMB = \frac{1}{2} \times (180^\circ - 140^\circ) = \frac{1}{2} \times 40^\circ = 20^\circ. ]

Таким образом, угол ( \angle AMB ) равен ( 20^\circ ).