Через сторону правильного ника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30 градусов....

Для решения данной задачи нам необходимо вспомнить основные свойства геометрии. Пусть ABC - правильный треугольник, а M - точка пересечения плоскости, проходящей через сторону BC под углом 30 градусов к плоскости треугольника, с прямой AB.

Обозначим углы треугольника ABC как A, B и C, а углы AMB, BMC и CMC как α, β и γ соответственно.

Так как треугольник ABC правильный, то углы A, B и C равны 60 градусов. Также угол AMB равен 30 градусов, так как плоскость, проходящая через сторону BC под углом 30 градусов к плоскости треугольника, образует 30-градусный угол с прямой AB.

Теперь нам нужно найти синусы углов α, β и γ. Для этого воспользуемся формулой синуса угла в треугольнике: sin$угол$ = противолежащая сторона / гипотенуза.

Поскольку угол AMB равен 30 градусов, то sin$30$ = BM / AB. Так как треугольник ABM равнобедренный, то BM = AM.

Таким образом, sin$30$ = AM / AB. Отсюда получаем, что AM = AB sin$30$ = AB 0.5.

Теперь можем найти синусы углов β и γ. Поскольку треугольник BMC также равнобедренный, то sin$\beta$ = CM / BM = CM / AM. Аналогично, sin$\gamma$ = CM / MC.

Таким образом, синусы углов β и γ равны CM / AM и CM / MC соответственно.

Для решения задачи представим себе правильный треугольник $ABC$, лежащий в плоскости $\alpha$, и плоскость $\beta$, проведенную через сторону $AB$ так, что она образует угол 30 градусов с плоскостью $\alpha$.

Так как плоскость $\beta$ проходит через сторону $AB$, то угол между стороной $AB$ и плоскостью $\beta$ равен 0 градусов, а значит синус этого угла равен 0.

Рассмотрим стороны $AC$ и $BC$. Поскольку треугольник $ABC$ правильный, стороны $AC$ и $BC$ равны и равно удалены от стороны $AB$. Следовательно, углы между сторонами $AC$ и $BC$ и плоскостью $\beta$ будут равны.

Теперь важно понять, как угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $\beta$ влияет на углы с другими сторонами треугольника. Поскольку плоскость $\beta$ наклонена на 30 градусов к плоскости $\alpha$, она формирует с этой плоскостью двугранный угол. Если мы проведем перпендикуляр из точки $C$ $или(A$ в случае стороны $BC$) к плоскости $\beta$, он образует угол 30 градусов с плоскостью $\alpha$ из-за наклона плоскости $\beta$.

Таким образом, углы между сторонами $AC$ и $BC$ и плоскостью $\beta$ также составляют 30 градусов. Синус угла в 30 градусов равен 1/2. Таким образом, синусы углов, которые образуют стороны $AC$ и $BC$ с плоскостью $\beta$, равны $\sin {30}^{\circ }=1/2$.

Итак, синусы углов между сторонами $AC$ и $BC$ с плоскостью $\beta$ равны 1/2.