Через сторону АВ прямоугольного треугольника АВС (угол В=90) проведена плоскость на расстоянии 4 см...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство перпендикулярности прямых и плоскостей. Поскольку плоскость параллельна стороне АВ треугольника АВС и находится на расстоянии 4 см от точки С, то это означает, что она проходит через середину стороны ВС и перпендикулярна ей.

Так как треугольник АВС прямоугольный, то Высота треугольника, проведенная к гипотенузе, будет также являться медианой и медианой к противолежащей стороне. Таким образом, плоскость, проходящая через середину стороны ВС и перпендикулярная ей, будет перпендикулярна к гипотенузе.

Учитывая, что ВС = 8 см, то расстояние от точки С до середины стороны ВС будет равно половине ВС, то есть 4 см. Из условия задачи известно, что расстояние между плоскостями равно 4 см. Таким образом, угол между плоскостями треугольников будет равен углу, образуемому пересечением перпендикулярной плоскости к гипотенузе и плоскости, параллельной стороне АВ.

Итак, угол между плоскостями треугольников будет равен 90 градусов.

Для решения задачи нам нужно определить угол между плоскостью исходного треугольника ABC и плоскостью, проведённой через сторону AB и находящейся на расстоянии 4 см от точки С.

Шаги решения:

1. Определим координаты точек треугольника ABC:

   • Пусть точка B находится в начале координат: ( B(0, 0, 0) ).
   • Точка A будет на оси x, так как AB - одна из катетов: ( A(a, 0, 0) ).
   • Точка C будет на оси y, так как BC - другая катет, и BC = 8 см: ( C(0, 8, 0) ).

2. Определим уравнение плоскости через AB на расстоянии 4 см от точки C:

   • Плоскость, проходящая через AB и на расстоянии 4 см от точки C, параллельна плоскости, перпендикулярной оси y и расположенной в точке C.
   • Так как плоскость параллельна оси y и проходит через точку C, её уравнение будет вида ( y = k ).
   • Расстояние от точки C(0, 8, 0) до этой плоскости составляет 4 см, следовательно, возможны две плоскости: ( y = 8 + 4 ) или ( y = 8 - 4 ). Это значит, что у нас есть две возможные плоскости:
     • ( y = 12 )
     • ( y = 4 )

3. Определим направление нормалей к плоскостям:

   • Плоскость треугольника ABC: так как треугольник лежит в плоскости xOy, её нормаль будет направлена вдоль оси z, т.е., нормаль ( \vec{n_1} = (0, 0, 1) ).
   • Плоскость ( y = 12 ) или ( y = 4 ): нормаль этой плоскости будет направлена вдоль оси y, т.е., нормаль ( \vec{n_2} = (0, 1, 0) ).

4. Определим угол между нормалями:

   • Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.
   • Векторы нормалей ( \vec{n_1} = (0, 0, 1) ) и ( \vec{n_2} = (0, 1, 0) ) перпендикулярны друг другу.
   • Поэтому угол между ними равен ( 90^\circ ).

Вывод:

Угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью, проведённой через сторону AB и находящейся на расстоянии 4 см от точки C, равен ( 90^\circ ).

Таким образом, вне зависимости от того, какую из двух возможных плоскостей мы рассмотрим ( ( y = 12 ) или ( y = 4 ) ), угол между плоскостями останется ( 90^\circ ).

Угол между плоскостями треугольников равен 30 градусам.