Через середину D гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам....

Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Поскольку прямые, проведенные через середину гипотенузы параллельно катетам, создают подобные треугольники, то отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению их соответствующих сторон.

Пусть CD = x, тогда DB = x (так как D - середина гипотенузы AB). Также обозначим AC = a, BC = b.

Теперь рассмотрим треугольники AEF и CDF. Они подобны, поэтому:

AE/CD = EF/DF (a - x)/x = 9/x a - x = 9

Теперь рассмотрим треугольники BFD и CDE. Они также подобны, поэтому:

BF/DE = FD/DC b/2x = (a - 9)/x b = 2(a - 9)

Так как AB = a^2 + b^2, подставим найденные значения b и a:

AB = (a^2 + (2(a - 9))^2) = a^2 + 4(a^2 - 36a + 81)

AB = 5a^2 - 36a + 81

Теперь из уравнения a - x = 9 найдем a = x + 9 и подставим это значение в уравнение для AB:

AB = 5(x + 9)^2 - 36(x + 9) + 81 AB = 5(x^2 + 18x + 81) - 36x - 324 + 81 AB = 5x^2 + 90x + 405 - 36x - 243 AB = 5x^2 + 54x + 162

Теперь учитывая, что EF = 9 см, найдем x:

x = EF = 9

Теперь подставляем x = 9 в уравнение для AB:

AB = 59^2 + 549 + 162 AB = 405 + 486 + 162 AB = 1053

Итак, гипотенуза AB равна 1053 см.

Для решения данной задачи можем использовать свойства прямоугольного треугольника и свойства средней линии треапезии, которая образуется в результате проведения указанных прямых.

1. Так как D - середина гипотенузы AB, то AD = DB. Прямые, проведённые через D параллельно катетам AC и BC, образуют с катетами и гипотенузой малые прямоугольные треугольники ADE и BDF, которые подобны большому треугольнику ABC.

2. Поскольку AD и DB равны половине AB, а DE и DF параллельны катетам BC и AC соответственно, то треугольники ADE и BDF равны по всем сторонам (так как они подобны ABC и имеют равные гипотенузы, которые равны половине гипотенузы AB).

3. Следовательно, прямые DE и DF делят катеты AC и BC пополам, поэтому точки E и F являются серединами AC и BC соответственно. Это делает EF средней линией меньшего прямоугольного треугольника, который образуется между точками E, F и вершиной C.

4. Средняя линия в треугольнике равна половине основания, к которому она параллельна. В данном случае EF параллельна AB, и поскольку EF = 9 см, то AB = 2 EF = 2 9 см = 18 см.

Таким образом, длина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC равна 18 см.