Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а. Через точку В и точку С, лежащую на отрезке АВ, проведены...

Для доказательства того, что точки ( A ), ( B_1 ) и ( C_1 ) лежат на одной прямой, рассмотрим следующие шаги:

1. Определение условий задачи:

   • Пусть отрезок ( AB ) имеет концы ( A ) и ( B ).
   • Плоскость ( \alpha ) проходит через конец ( A ).
   • Через точки ( B ) и ( C ) (где ( C ) — точка на отрезке ( AB )) проведены прямые, которые параллельны и пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( B_1 ) и ( C_1 ) соответственно.

2. Анализ геометрической конфигурации:

   • Поскольку прямые через ( B ) и ( C ) параллельны и пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( B_1 ) и ( C_1 ), то отрезки ( BB_1 ) и ( CC_1 ) параллельны друг другу.
   • Поскольку ( C ) лежит на отрезке ( AB ), точки ( A ), ( C ), и ( B ) коллинеарны.

3. Применение теоремы о секущих:

   • Рассмотрим плоскость ( \alpha ) и линию, проходящую через точку ( A ) и параллельную прямым, которые пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( B_1 ) и ( C_1 ).
   • Согласно теореме о секущих и параллельных прямых, если две параллельные прямые пересекаются секущей линией, то точки пересечения лежат на одной прямой.
   • В данном случае, секущей является линия ( AC ).

4. Вывод:

   • Поскольку ( A ), ( B_1 ) и ( C_1 ) являются точками пересечения прямых, параллельных ( BB_1 ) и ( CC_1 ) с плоскостью ( \alpha ), и поскольку ( A ) лежит на отрезке ( AC ), то по теореме о параллельных секущих, точки ( A ), ( B_1 ) и ( C_1 ) коллинеарны.

Таким образом, доказано, что точки ( A ), ( B_1 ) и ( C_1 ) лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки А, В1 и С1 лежат на одной прямой, рассмотрим следующие утверждения:

1. Точка В1 лежит в плоскости а, так как прямая, проходящая через точку В и параллельная прямой ВС, пересекает плоскость а в точке В1.

2. Точка С1 также лежит в плоскости а, так как она является точкой пересечения прямой, проходящей через точку В1 и параллельную прямой ВС, с плоскостью а.

3. Так как точки В1 и С1 лежат на плоскости а, то они обе лежат в пересечении этой плоскости с плоскостью, проходящей через точку А и параллельную плоскости а. Следовательно, точки В1 и С1 лежат на одной прямой, проходящей через точку А.

Таким образом, точки А, В1 и С1 действительно лежат на одной прямой.