Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6см , и составляет с плоскостью основания 60 градусов....

Для решения данной задачи нам потребуется знание формулы объема правильной пирамиды. Объем правильной пирамиды можно найти по формуле V = $1/3$ S h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, основание у нее равносторонний треугольник. По свойствам равностороннего треугольника, высота, опущенная из вершины на основание, будет являться медианой и делить основание на две равные части. Таким образом, сторона основания треугольника равна 2 * 6 = 12 см.

Далее найдем высоту пирамиды. Поскольку у нас имеется прямоугольный треугольник с катетами 6 см и h, а угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 градусов, то мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты. Так как тангенс угла равен противолежащему катету деленному на прилежащий катет, то получаем tan$60$ = h / 6. Решив это уравнение, найдем h = 6 * tan$60$ ≈ 10.39 см.

Теперь, подставив полученные значения в формулу объема пирамиды, получим: V = $1/3$ (12^2 sqrt$3$ / 4) * 10.39 ≈ 62.35 см³.

Итак, объем правильной треугольной пирамиды равен приблизительно 62.35 см³.

Для решения задачи начнем с понимания, что правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник, а все боковые ребра равны. Таким образом, боковые ребра пирамиды равны 6 см, и каждое из них образует угол в 60 градусов с плоскостью основания.

1. Находим высоту пирамиды. Высота пирамиды $обозначимеёh$ исходит из вершины и перпендикулярна плоскости основания и разделяет пирамиду на три равных прямоугольных треугольника. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусов, что позволяет нам использовать свойства прямоугольного треугольника с углом 60 градусов.

   Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60 градусов, можно выразить высоту: $\cos {60}^{\circ }=\frac{h}{6}$ Поскольку $\cos {60}^{\circ }=0.5$, получаем: $0.5=\frac{h}{6}\Rightarrow h=3\text{ см}$

2. Находим длину стороны основания пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна a. Высота этого треугольника (h{\text{осн}}) также может быть найдена через теорему Пифагора в одном из треугольников, образованных при проекции бокового ребра на плоскость основания: [ h{\text{осн}} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см} ] Так как высота равностороннего треугольника со стороной a выражается как: $h_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ Подставляя значение высоты, получим: $3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow a=6\text{ см}$

3. Находим площадь основания. Площадь равностороннего треугольника с стороной a вычисляется по формуле: $S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2=9\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

4. Находим объем пирамиды. Объем пирамиды V вычисляется по формуле: $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 3=9\sqrt{3}{\text{ см}}^3$

Таким образом, объем данной правильной треугольной пирамиды равен $9\sqrt{3}$ кубических сантиметров.