Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды...

Для решения задачи используем следующие обозначения и определения:

1. Пусть ( S ) - центр основания правильной четырехугольной пирамиды, ( V ) - вершина пирамиды, ( A ) - одна из вершин основания, и ( h ) - высота пирамиды, опущенная из ( V ) на основание в точку ( S ).
2. ( VA ) - боковое ребро пирамиды, которое по условию равно 4 см.
3. Угол между боковым ребром ( VA ) и плоскостью основания пирамиды составляет 45 градусов.

Нахождение высоты пирамиды ( h )

Так как угол между ребром ( VA ) и плоскостью основания равен 45°, треугольник ( VSA ) является прямоугольным с углом 45° при вершине ( V ). Это значит, что ( VS ) (высота пирамиды) равняется проекции ребра ( VA ) на плоскость основания. По свойству прямоугольного треугольника с углом 45°, катеты равны друг другу, т.е. ( VS = SA ).

Так как ( VA ) - гипотенуза, то: [ VS = VA \cdot \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см} ] Таким образом, высота пирамиды ( h = 2\sqrt{2} ) см.

Нахождение площади боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти, сложив площади всех боковых граней. В данном случае все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Площадь одной боковой грани (треугольника ( VAB )) вычисляется по формуле: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} ] Основание каждого треугольника - сторона основания пирамиды ( AB ), которая равна ( 2SA ) (так как ( SA = h ) и пирамида правильная).

[ AB = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \, \text{см} ]

Высота каждого треугольника (апофема ( VA )) может быть найдена по Пифагору: [ VA^2 = VS^2 + SA^2 ] [ 4^2 = (2\sqrt{2})^2 + x^2 ] [ 16 = 8 + x^2 ] [ x^2 = 8 ] [ x = 2\sqrt{2} \, \text{см} ]

Площадь одного треугольника: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 8 \, \text{см}^2 ]

Так как у основания четыре равные стороны, то общая площадь боковой поверхности: [ \text{Общая площадь} = 4 \times 8 = 32 \, \text{см}^2 ]

Итак, высота пирамиды ( h = 2\sqrt{2} ) см, а площадь боковой поверхности равна 32 см².

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов и формулой площади боковой поверхности пирамиды.

1. Найдем высоту пирамиды: Обозначим высоту пирамиды за h. Тогда по теореме косинусов для треугольника, образованного боковым ребром, высотой и половиной диагонали основания, имеем: h^2 = 4^2 + (2a)^2 - 2 4 2a cos(45°), h^2 = 16 + 4a^2 - 8a sqrt(2) / 2, h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a(a - sqrt(2)), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h^2 = 16 + 4a^2 - 4a sqrt(2), h = sqrt(16 + 4a^2 - 4a sqrt(2)).

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды: Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту пирамиды: S = 1/2 p h, где p - периметр основания пирамиды. Для четырехугольной пирамиды p = 4a. S = 1/2 4a sqrt(16 + 4a^2 - 4a * sqrt(2)).

Таким образом, мы нашли высоту пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды в зависимости от длины бокового ребра a.