Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол 60,а высота трапеции равна 6√3 см. Найдите...

Площадь трапеции равна 54 кв. см.

Для начала найдем длину оснований трапеции. Так как угол между боковой стороной и основанием равен 60 градусам, то треугольник, образованный боковой стороной, основанием и высотой трапеции, является равносторонним. Следовательно, длина каждого основания равна 6√3 см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен половине суммы длин оснований трапеции, т.е. равен 6√3 см.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота. Подставляя известные значения, получаем: S = (6√3 + 6√3) 6√3 / 2 = 12√3 6√3 / 2 = 72 3 = 216 см^2.

Таким образом, площадь трапеции равнобокой с углом 60 градусов и высотой 6√3 см, в которую можно вписать окружность, равна 216 квадратным сантиметрам.

Чтобы найти площадь равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, нужно воспользоваться свойством, что в такую трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

Дано:

• угол между боковой стороной и основанием равен 60 градусов
• высота трапеции ( h = 6\sqrt{3} ) см

Обозначим:

• верхнее основание трапеции как ( a )
• нижнее основание как ( b )
• боковые стороны как ( c )

По свойству вписанной окружности:
[ a + b = 2c ]

Высота трапеции ( h ) и угол 60 градусов позволяют нам выразить боковую сторону ( c ). Зная, что угол между боковой стороной и основанием равен 60 градусов, можно использовать тригонометрическую функцию синуса: [ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Поскольку ( \sin \theta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ), где гипотенуза — это боковая сторона ( c ), а противолежащий катет — это высота ( h ): [ \sin 60^\circ = \frac{h}{c} ]

Подставим известные значения: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{c} ]

Решая это уравнение, найдем ( c ): [ c = \frac{6\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 12 ]

Теперь используем свойство для вписанной окружности: [ a + b = 2c = 24 ]

Поскольку боковая сторона образует равные углы с обоими основаниями, трапеция равнобокая, и можно выразить отрезки на основании, на которые боковые стороны проецируются, через тангенс угла 60 градусов: [ \tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} ]

Противолежащий катет равен высоте ( h = 6\sqrt{3} ), а прилежащий катет — это проекция боковой стороны ( c ) на основание ( b ) (отрезок от основания до точки, где падает перпендикуляр): [ \sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{d} ]

Решая уравнение: [ d = 6 ]

Это значит, что основание ( b ) делится на три части: две проекции ( d = 6 ) (по бокам) и средняя часть ( a ). Значит: [ b = 2d + a = 12 + a ]

Используем уравнение для суммы оснований: [ a + (12 + a) = 24 ] [ 2a + 12 = 24 ] [ 2a = 12 ] [ a = 6 ]

Теперь можем найти площадь трапеции: [ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} ]

Подставим найденные значения: [ S = \frac{(6 + 18) \cdot 6\sqrt{3}}{2} = \frac{24 \cdot 6\sqrt{3}}{2} ] [ S = 72\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь трапеции равна ( 72\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.