Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13см , а его медиана , проведённая к основанию, равна...

Давайте решим задачу шаг за шагом, используя свойства равнобедренного треугольника и геометрические формулы.

Условие задачи:

1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны $a=13$ см.
2. Медиана, проведённая к основанию, равна $m=5$ см.
3. Найти:
   • Периметр треугольника.
   • Площадь треугольника.

Обозначим основание треугольника через $b$, которое мы сначала найдём.

1. Свойства медианы в равнобедренном треугольнике

Медиана, проведённая к основанию $b$, делит это основание пополам. Таким образом, каждая из половинок основания равна: $\frac{b}{2}.$ Кроме того, медиана в равнобедренном треугольнике является высотой, поскольку она перпендикулярна основанию.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой $m=5$, половиной основания $\frac{b}{2}$, и боковой стороной $a=13$. Применим теорему Пифагора.

2. Применение теоремы Пифагора

Для прямоугольного треугольника имеем: $a^2=m^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2.$ Подставим известные значения: ${13}^2=5^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2.$ Рассчитаем: $169=25+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2.$ Вычтем 25 из обеих сторон: $144={\left(\frac{b}{2}\right)}^2.$ Возьмём корень из обеих сторон: $\frac{b}{2}=12.$ Умножим на 2, чтобы найти основание $b$: $b=24.$

3. Периметр треугольника

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме всех его сторон: $P=a+a+b.$ Подставим значения: $P=13+13+24=50\text{см}.$

4. Площадь треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h,$ где $b$ — основание $(b=24$), а $h$ — высота, которая в данном случае равна медиане $(h=5$).

Подставим значения: $S=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=12\cdot 5=60{\text{см}}^2.$

Ответ:

• Периметр треугольника: $P=50\text{см}$.
• Площадь треугольника: $S=60{\text{см}}^2$.

Для нахождения площади и периметра равнобедренного треугольника с боковой стороной 13 см и медианой 5 см, воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначим основание треугольника как $a$, а боковые стороны как $b=13$ см.
2. Медиана, проведенная к основанию $a$, делит его пополам, то есть $\frac{a}{2}$.

3. По теореме о медиане:

   $m=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}$ где $m=5$ см, $b=c=13$ см.

   Подставим значения в формулу:

   $5=\sqrt{\frac{2\times {13}^2+2\times {13}^2-a^2}{4}}$

   Упрощаем:

   $5=\sqrt{\frac{2\times 169+2\times 169-a^2}{4}}$ $5=\sqrt{\frac{676-a^2}{4}}$ $25=\frac{676-a^2}{4}$ $100=676-a^2$ $a^2=576$ $a=24\text{ см}$

4. Теперь, зная основание $a=24$ см и боковые стороны $b=13$ см, находим периметр:

   $P=a+2b=24+2\times 13=24+26=50\text{ см}$

5. Для нахождения площади $S$ треугольника используем формулу Герона:

   $s=\frac{P}{2}=\frac{50}{2}=25\text{ см}$ $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-b)}=\sqrt{25(25-24)(25-13)(25-13)}$ $S=\sqrt{25\times 1\times 12\times 12}=\sqrt{25\times 144}=30{\text{ см}}^2$

Итак, площадь треугольника равна $30{\text{ см}}^2$, а периметр равен $50\text{ см}$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 13 см — боковые стороны, а основание BC обозначим как a. Медиана, проведённая из вершины A к основанию BC, равна 5 см.

1. Найдём длину основания BC $a$: Медиана делит основание на две равные части, поэтому точка D, где медиана пересекает основание, будет делить BC на два равных отрезка: $BD=DC=\frac{a}{2}$

   В треугольнике ABD по теореме о медиане: $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2$ Подставим известные значения: $5^2={13}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ $25=169-\frac{a^2}{4}$ Переносим все в одну часть: $\frac{a^2}{4}=169-25$ $\frac{a^2}{4}=144$ Умножим обе стороны на 4: $a^2=576$ Возьмём квадратный корень: $a=24\text{ см}$

2. Теперь найдём периметр треугольника: Периметр P равнобедренного треугольника равен сумме всех сторон: $P=AB+AC+BC=13+13+24=50\text{ см}$

3. Теперь найдём площадь треугольника: Площадь треугольника можно найти с помощью формулы: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$ где $h$ — высота треугольника, которая равна длине медианы, проведённой из вершины A, т.е. $h=5$ см, и основание $a=24$ см: $S=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60{\text{ см}}^2$

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника составляет $60{\text{ см}}^2$, а периметр равен $50\text{ см}$.