Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм2.Диагональ основания равна...

Площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, равна 8 дм2.

Для нахождения площади сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину, нам нужно использовать теорему Пифагора и формулу площади треугольника.

Поскольку диагональ основания равна 4√2, это означает, что сторона основания равна 4, так как диагональ делит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 4 на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Теперь найдем высоту боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности равна полупериметру основания умноженному на высоту. Поскольку площадь боковой поверхности равна 16 дм2, а периметр основания равен 16 (4*4), высота боковой поверхности равна 1 дм.

Сечение, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней, образует равнобедренный треугольник с катетами 1 и √2. Площадь такого треугольника можно найти по формуле S = 0.5 a b, где a и b - катеты треугольника. Подставляя значения, получаем S = 0.5 1 √2 = √2 / 2 дм2.

Таким образом, площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину, равна √2 / 2 дм2.

Для решения задачи начнем с анализа данных:

1. Правильная четырехугольная призма означает, что ее основание - квадрат.
2. Боковая поверхность призмы равна 16 дм².
3. Диагональ основания призмы равна (4\sqrt{2}) дм.

Поскольку основание призмы - квадрат, то его сторона (a) найдется из условия равенства диагонали (d) квадрата и данного значения диагонали: [ d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} ] [ a = 4 \, \text{дм} ]

Теперь найдем высоту призмы (h). Боковая поверхность призмы складывается из четырех прямоугольников, каждый из которых имеет стороны (a) и (h). Площадь одного такого прямоугольника (S = a \cdot h). Общая площадь боковой поверхности: [ 4a \cdot h = 16 \, \text{дм}^2 ] [ 4 \cdot 4 \cdot h = 16 ] [ 16h = 16 ] [ h = 1 \, \text{дм} ]

Рассмотрим сечение призмы, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, где более длинное основание — диагональ призмы, а более короткое — диагональ основания.

Диагональ призмы найдем, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного диагональю призмы, высотой призмы и диагональю основания: [ D^2 = h^2 + (4\sqrt{2})^2 ] [ D^2 = 1^2 + (4\sqrt{2})^2 ] [ D^2 = 1 + 32 ] [ D = \sqrt{33} \, \text{дм} ]

Трапеция, образованная диагоналями, имеет высоту, равную высоте призмы (1 дм), и основания (4\sqrt{2}) дм и (\sqrt{33}) дм. Площадь трапеции равна: [ S = \frac{1}{2} (a + b) h ] [ S = \frac{1}{2} (4\sqrt{2} + \sqrt{33}) \cdot 1 ] [ S = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{33}}{2} \, \text{дм}^2 ]

Таким образом, площадь требуемого сечения призмы составляет (\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{33}}{2}) дм².