Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм2.Диагональ основания равна...

Площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, равна 8 дм2.

Для нахождения площади сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину, нам нужно использовать теорему Пифагора и формулу площади треугольника.

Поскольку диагональ основания равна 4√2, это означает, что сторона основания равна 4, так как диагональ делит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 4 на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Теперь найдем высоту боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности равна полупериметру основания умноженному на высоту. Поскольку площадь боковой поверхности равна 16 дм2, а периметр основания равен 16 $4\ast 4$, высота боковой поверхности равна 1 дм.

Сечение, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней, образует равнобедренный треугольник с катетами 1 и √2. Площадь такого треугольника можно найти по формуле S = 0.5 a b, где a и b - катеты треугольника. Подставляя значения, получаем S = 0.5 1 √2 = √2 / 2 дм2.

Таким образом, площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину, равна √2 / 2 дм2.

Для решения задачи начнем с анализа данных:

1. Правильная четырехугольная призма означает, что ее основание - квадрат.
2. Боковая поверхность призмы равна 16 дм².
3. Диагональ основания призмы равна $4\sqrt{2}$ дм.

Поскольку основание призмы - квадрат, то его сторона $a$ найдется из условия равенства диагонали $d$ квадрата и данного значения диагонали: $d=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ $a=4\text{дм}$

Теперь найдем высоту призмы $h$. Боковая поверхность призмы складывается из четырех прямоугольников, каждый из которых имеет стороны $a$ и $h$. Площадь одного такого прямоугольника $S=a\cdot h$. Общая площадь боковой поверхности: $4a\cdot h=16{\text{дм}}^2$ $4\cdot 4\cdot h=16$ $16h=16$ $h=1\text{дм}$

Рассмотрим сечение призмы, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, где более длинное основание — диагональ призмы, а более короткое — диагональ основания.

Диагональ призмы найдем, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного диагональю призмы, высотой призмы и диагональю основания: $D^2=h^2+(4\sqrt{2}{)}^2$ $D^2=1^2+(4\sqrt{2}{)}^2$ $D^2=1+32$ $D=\sqrt{33}\text{дм}$

Трапеция, образованная диагоналями, имеет высоту, равную высоте призмы $1дм$, и основания $4\sqrt{2}$ дм и $\sqrt{33}$ дм. Площадь трапеции равна: $S=\frac{1}{2}(a+b)h$ $S=\frac{1}{2}(4\sqrt{2}+\sqrt{33})\cdot 1$ $S=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{33}}{2}{\text{дм}}^2$

Таким образом, площадь требуемого сечения призмы составляет $\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{33}}{2}$ дм².