Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точки M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма если его периметр равен 36см.
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точки M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма если его периметр равен 36см.
Для решения задачи воспользуемся свойствами биссектрис и параллелограмма.
Известно, что периметр параллелограмма равен 36 см. Следовательно, выполняется равенство: [ 2a + 2b = 36 ] [ a + b = 18 ]
Вспомним, что биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении сторон, прилегающих к этому углу. Заметим, что точки пересечения биссектрис углов ( A ) и ( D ) лежат на стороне ( BC ). Это означает, что точка ( M ) делит сторону ( BC ) в отношении равном отношению сторон параллелограмма ( AD ) и ( AB ), то есть ( \frac{AD}{AB} = \frac{b}{a} ).
Поскольку биссектрисы углов ( A ) и ( D ) пересекаются в точке ( M ) и точка ( M ) лежит на стороне ( BC ), то ( M ) является точкой деления ( BC ) в отношении ( a : b ).
Рассмотрим треугольники, которые образуются при пересечении биссектрис. В треугольнике ( ABM ) биссектриса угла ( A ) делит сторону ( BC ) в отношении ( a : b ), аналогично в треугольнике ( CDM ) биссектриса угла ( D ) делит сторону ( BC ) в отношении ( b : a ).
Учитывая, что сумма длин всех отрезков на стороне ( BC ) равна ( b ), и ( \frac{a}{a+b} ) и ( \frac{b}{a+b} ) являются отношениями, в которых делятся стороны, можно выразить длины отрезков: [ \frac{a}{a+b} \cdot b \quad \text{и} \quad \frac{b}{a+b} \cdot b ]
Так как ( a + b = 18 ), нам нужно найти значения ( a ) и ( b ), которые удовлетворяют этому уравнению.
Заметим, что для точного нахождения значений ( a ) и ( b ) достаточно одного уравнения ( a + b = 18 ), что говорит о том, что возможны различные комбинации ( a ) и ( b ), например:
Таким образом, стороны параллелограмма могут быть ( a = 10 ) см и ( b = 8 ) см, либо ( a = 9 ) см и ( b = 9 ) см, либо ( a = 8 ) см и ( b = 10 ) см. Эти комбинации удовлетворяют условию периметра в 36 см.
Пусть BC = x, AD = y. Так как AM и DM - биссектрисы, то AM/MD = AB/CD = y/x. По условию задачи AB + BC + CD + DA = 36. Так как AB + CD = BC = x, то AB + BC + CD + DA = x + DA = 36. Так как x = 18, DA = 18. По теореме Пифагора в треугольнике AMD, AM^2 + DM^2 = AD^2, AM^2 + (x - AM)^2 = 18^2. Решая уравнение, получаем AM = 10, DM = 8. Так как AM/MD = AB/CD = y/x, то AB = 15, CD = 3. По условию задачи BC = x = 18. Получаем AB = 15, BC = 18, CD = 3, DA = 18.
Пусть стороны параллелограмма обозначены как AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Так как биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, то можно заметить, что треугольники ABM и ADM подобны, так как они имеют общий угол при вершине M и углы при основании равны (углы при вершине A и D равны в параллелограмме). Поэтому можно записать пропорцию: AM/MD = AB/AD = a/d
Также из условия известно, что периметр параллелограмма равен 36 см: 2a + 2b + 2c + 2d = 36 a + b + c + d = 18
Из подобия треугольников ABM и ADM получаем, что AM/MD = AB/AD = a/d. Таким образом, AM = a, MD = d. Из этого следует, что BM = MD = d, и BC = BM + MC = d + b.
Теперь можем записать уравнение для периметра: a + (d + b) + c + d = 18 a + b + c + 2d = 18 a + b + c = 18 - 2d
Подставляем это в уравнение периметра параллелограмма: 2a + 2b + 2c + 2d = 36 2a + 2b + 2c = 36 - 4d a + b + c = 18 - 2d
Теперь мы имеем два уравнения: a + b + c = 18 - 2d a + b + c = 18 - 2d
Из этих уравнений получаем, что a = b = c = d = 6 см.
Итак, стороны параллелограмма ABCD равны 6 см, а периметр равен 36 см.
