Биссектриса равностороннего треугольника равна 15√3. найти его сторону

Давайте разберём решение задачи шаг за шагом.

Условия задачи:

Имеется равносторонний треугольник, и известно, что его биссектриса равна ( 15\sqrt{3} ). Требуется найти длину стороны треугольника.

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы равны ( 60^\circ ).
2. Биссектриса, медиана и высота из одного и того же угла совпадают (это одно и то же для равностороннего треугольника).
3. Формула длины биссектрисы (или высоты) в равностороннем треугольнике со стороной ( a ): [ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} ] Здесь ( h ) — длина высоты или биссектрисы.

Дано:

Биссектриса (или высота) ( h = 15\sqrt{3} ).

Найдём сторону треугольника:

Подставим значение ( h ) в формулу высоты: [ 15\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2}. ]

Упростим это уравнение. Сначала сократим на ( \sqrt{3} ) (так как ( \sqrt{3} \neq 0 )): [ 15 = \frac{a}{2}. ]

Умножим обе стороны уравнения на 2: [ a = 30. ]

Ответ:

Длина стороны равностороннего треугольника равна ( a = 30 ).

Проверка:

Подставим найденное значение стороны ( a = 30 ) в формулу высоты: [ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{30 \sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}. ] Значение совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Итог:

Длина стороны равностороннего треугольника равна ( \mathbf{30} ).

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают и имеют одинаковую длину. Для нахождения стороны равностороннего треугольника, если известна длина биссектрисы, можно использовать следующую формулу:

[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

где ( h ) — длина высоты (которая равна длине биссектрисы в данном случае), а ( a ) — длина стороны треугольника.

Известно, что длина биссектрисы ( h = 15\sqrt{3} ). Подставим это значение в формулу:

[ 15\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

Чтобы избавиться от (\sqrt{3}), умножим обе стороны уравнения на (2):

[ 30\sqrt{3} = a \sqrt{3} ]

Теперь можем разделить обе стороны на (\sqrt{3}):

[ 30 = a ]

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника равна (30) единиц.

Итак, ответ: сторона равностороннего треугольника равна (30).

В равностороннем треугольнике биссектрису можно выразить через сторону треугольника ( a ) по формуле:

[ d = \frac{a \sqrt{3}}{3} ]

где ( d ) — длина биссектрисы. В данном случае ( d = 15\sqrt{3} ).

Решим уравнение:

[ 15\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{3} ]

Умножим обе стороны на 3:

[ 45\sqrt{3} = a\sqrt{3} ]

Теперь делим обе стороны на ( \sqrt{3} ):

[ a = 45 ]

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 45.