B треугольнике CDE угол С=30,угол D=45,CE=5 корней из 2 найти DE

Для нахождения стороны DE в треугольнике CDE воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим сторону DE как x.

Из угла С известно, что CD = CE tg(30°) = 5 tg(30°) = 5 (1/√3) = (5√3) / 3. Из угла D известно, что CD = CE tg(45°) = 5 tg(45°) = 5. Теперь можем найти длину стороны CD по теореме косинусов: CD² = CE² + DE² - 2 CE DE cos(45°), (5√3 / 3)² = 5² + x² - 2 5 x cos(45°), 75 / 3 = 25 + x² - 10x (1/√2), 25 = 25 + x² - 5x, 0 = x² - 5x, x² - 5x = 0, x(x - 5) = 0, x = 0 или x = 5.

Так как сторона треугольника не может быть равна 0, то DE = 5.

Для решения задачи в треугольнике CDE, где угол C = 30°, угол D = 45°, а сторона CE = 5√2, необходимо найти сторону DE.

1. Определение углов треугольника: В треугольнике сумма всех углов равна 180°. Зная углы C и D, найдем угол E: [ \angle E = 180° - \angle C - \angle D = 180° - 30° - 45° = 105°. ]

2. Используем теорему синусов: Теорема синусов гласит: [ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}, ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( \alpha, \beta, \gamma ) — противоположные им углы.

   Пусть DE = x. Рассмотрим стороны и углы треугольника CDE:

   • CE = 5√2,
   • угол D = 45°,
   • угол E = 105°,
   • угол C = 30°,
   • неизвестная сторона DE = x.

3. Применим теорему синусов: [ \frac{DE}{\sin 30°} = \frac{CE}{\sin 105°}. ]

   Заменим известные значения: [ \frac{x}{\sin 30°} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 105°}. ]

4. Выражение для синусов углов: [ \sin 30° = 0.5, ] [ \sin 105° = \sin (180° - 75°) = \sin 75° = \sin (45° + 30°). ]

   Используем формулу синуса суммы углов: [ \sin (45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°. ]

   Подставим значения: [ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30° = 0.5. ]

   [ \sin 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0.5 = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. ]

5. Подставим значения в уравнение: [ \frac{x}{0.5} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}. ]

6. Решаем уравнение: Упростим правую часть: [ \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. ]

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: [ \frac{20\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{20\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}). ]

   Таким образом: [ x = 0.5 \cdot 5\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2.5\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}). ]

   Значит: [ DE = 5. ]

Итак, сторона DE в треугольнике CDE равна 5 единицам.