B треугольнике CDE угол С=30,угол D=45,CE=5 корней из 2 найти DE

Для нахождения стороны DE в треугольнике CDE воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим сторону DE как x.

Из угла С известно, что CD = CE tg$30°$ = 5 tg$30°$ = 5 $1/\surd 3$ = $5\surd 3$ / 3. Из угла D известно, что CD = CE tg$45°$ = 5 tg$45°$ = 5. Теперь можем найти длину стороны CD по теореме косинусов: CD² = CE² + DE² - 2 CE DE cos$45°$, $5\surd 3/3$² = 5² + x² - 2 5 x cos$45°$, 75 / 3 = 25 + x² - 10x $1/\surd 2$, 25 = 25 + x² - 5x, 0 = x² - 5x, x² - 5x = 0, x$x-5$ = 0, x = 0 или x = 5.

Так как сторона треугольника не может быть равна 0, то DE = 5.

Для решения задачи в треугольнике CDE, где угол C = 30°, угол D = 45°, а сторона CE = 5√2, необходимо найти сторону DE.

1. Определение углов треугольника: В треугольнике сумма всех углов равна 180°. Зная углы C и D, найдем угол E: $\mathrm{\angle }E=180°-\mathrm{\angle }C-\mathrm{\angle }D=180°-30°-45°=105°.$

2. Используем теорему синусов: Теорема синусов гласит: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma },$ где $a,b,c$ — стороны треугольника, а $\alpha ,\beta ,\gamma$ — противоположные им углы.

   Пусть DE = x. Рассмотрим стороны и углы треугольника CDE:

   • CE = 5√2,
   • угол D = 45°,
   • угол E = 105°,
   • угол C = 30°,
   • неизвестная сторона DE = x.

3. Применим теорему синусов: $\frac{DE}{\sin 30°}=\frac{CE}{\sin 105°}.$

   Заменим известные значения: $\frac{x}{\sin 30°}=\frac{5\sqrt{2}}{\sin 105°}.$

4. Выражение для синусов углов: $\sin 30°=0.5,$ $\sin 105°=\sin (180°-75°)=\sin 75°=\sin (45°+30°).$

   Используем формулу синуса суммы углов: $\sin (45°+30°)=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°.$

   Подставим значения: $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 30°=0.5.$

   $\sin 75°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0.5=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

5. Подставим значения в уравнение: $\frac{x}{0.5}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}.$

6. Решаем уравнение: Упростим правую часть: $\frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=5\sqrt{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}.$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=\frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=5\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}).$

   Таким образом: $x=0.5\cdot 5\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})=2.5\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}).$

   Значит: $DE=5.$

Итак, сторона DE в треугольнике CDE равна 5 единицам.