АВСД квадрат,отрезок МД перпендикулярен плоскости АВС.Докажите что МВ перпендикулярен АС

Доказательство:

1. Пусть точка МВ не перпендикулярна АС.
2. Тогда проведем перпендикуляр к АС через точку МВ и обозначим точку пересечения с плоскостью АВС как К.
3. Так как МД перпендикулярен плоскости АВС, то МД также перпендикулярен отрезку АК.
4. Также из условия квадрата следует, что отрезок МВ равен отрезку МК.
5. Получается, что треугольник МКД прямоугольный, так как две его стороны перпендикулярны.
6. Из теоремы Пифагора следует, что МК^2 = МД^2 + ДК^2.
7. Но так как МД и ДК равны, то МК^2 = 2МД^2.
8. Это противоречит равенству МК = МД, следовательно, предположение неверно.
9. Следовательно, отрезок МВ перпендикулярен АС.

Рассмотрим квадрат ABCD, где ( A, B, C, D ) — его вершины, и отрезок ( MD ) перпендикулярен плоскости ( ABC ). Необходимо доказать, что отрезок ( MB ) перпендикулярен диагонали ( AC ).

Шаг 1: Определение координат и базовых векторов

Для удобства расположим квадрат ( ABCD ) в плоскости ( XY ) следующим образом:

• ( A = (0, 0, 0) )
• ( B = (a, 0, 0) )
• ( C = (a, a, 0) )
• ( D = (0, a, 0) )

Пусть точка ( M ) находится на оси ( Z ) над точкой ( D ), тогда её координаты будут:

• ( M = (0, a, h) )

Шаг 2: Проверка перпендикулярности ( MD ) к плоскости ( ABC )

Отрезок ( MD ) задан как перпендикулярный плоскости ( ABC ). Вектор ( MD ) имеет координаты: [ \overrightarrow{MD} = M - D = (0, a, h) - (0, a, 0) = (0, 0, h) ]

Плоскость ( ABC ) лежит в плоскости ( XY ), её нормальный вектор ( \overrightarrow{n} ) можно взять как ( (0, 0, 1) ). Поскольку ( \overrightarrow{MD} ) параллелен нормальному вектору плоскости ( ABC ), то действительно ( MD ) перпендикулярен плоскости ( ABC ).

Шаг 3: Вектор ( MB )

Теперь рассмотрим вектор ( MB ): [ \overrightarrow{MB} = B - M = (a, 0, 0) - (0, a, h) = (a, -a, -h) ]

Шаг 4: Вектор ( AC )

Диагональ ( AC ) можно выразить в виде вектора: [ \overrightarrow{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) ]

Шаг 5: Проверка перпендикулярности ( MB ) и ( AC )

Для того чтобы проверить перпендикулярность двух векторов, необходимо проверить, что их скалярное произведение равно нулю: [ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = (a, -a, -h) \cdot (a, a, 0) ]

Выполним скалярное произведение: [ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a + (-a) \cdot a + (-h) \cdot 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0 ]

Поскольку скалярное произведение равно нулю, то векторы ( \overrightarrow{MB} ) и ( \overrightarrow{AC} ) перпендикулярны.

Заключение

Таким образом, доказано, что отрезок ( MB ) перпендикулярен диагонали ( AC ) в квадрате ( ABCD ) при условии, что ( MD ) перпендикулярен плоскости ( ABC ).

Для доказательства того, что отрезок МВ перпендикулярен отрезку АС, докажем, что треугольники МВД и АСД подобны.

По условию задачи, квадрат АВСД, а отрезок МД перпендикулярен плоскости АВС. Таким образом, угол МДВ прямой.

Также имеем, что угол А = угол В = угол С = угол D = 90 градусов, так как это углы квадрата.

Из подобия треугольников МВД и АСД следует, что отношение сторон равно отношению высот, проведенных к основаниям. То есть:

МВ / АС = МД / АД.

Так как отрезок МД перпендикулярен плоскости АВС, то МД = АС, так как они являются проекциями одного отрезка на плоскость.

Таким образом, МВ / АС = МД / АС, откуда следует, что МВ = АС.

Из этого следует, что отрезок МВ перпендикулярен отрезку АС.