ABCD - трапеция, BC параллельно AD, О - точка пересечения ее диагоналей, причем AC перпендикулярно BD;...

Для решения задачи нам необходимо использовать свойства трапеции и некоторые геометрические соотношения.

Дано:

• (ABCD) — трапеция, (BC \parallel AD), (AB = CD).
• (AC \perp BD) — диагонали перпендикулярны.
• Площадь (\triangle BOC = 16\sqrt{2} \, \text{см}^2).
• Площадь (\triangle AOD = 36\sqrt{2} \, \text{см}^2).

Требуется найти площадь (\triangle AOB).

1. Свойства трапеции: В трапеции с параллельными основаниями, диагонали пересекаются в точке, которая делит их в одном и том же отношении. То есть, если диагонали пересекаются в точке (O), то (\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB}).

2. Свойства перпендикулярных диагоналей: Если диагонали трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна произведению длин диагоналей, делённому на 2. Это свойство полезно для нахождения отношения площадей, но в данном случае оно нам не потребуется напрямую.

3. Используем площади треугольников: Поскольку диагонали трапеции делят её на 4 треугольника, то мы можем использовать площади данных треугольников для нахождения искомой площади. Поскольку диагонали перпендикулярны, можно заметить, что:

   • Площадь (\triangle AOD) и (\triangle BOC) даются в условии.
   • Площади треугольников (\triangle AOB) и (\triangle COD) равны, так как (AB = CD).

4. Расчёт площади (\triangle AOB): Теперь мы знаем, что:

   • Площадь (\triangle AOD = 36\sqrt{2} \, \text{см}^2).
   • Площадь (\triangle BOC = 16\sqrt{2} \, \text{см}^2).

   Так как диагонали перпендикулярны, то: [ \frac{\text{Площадь } \triangle AOB}{\text{Площадь } \triangle AOD} = \frac{\text{Площадь } \triangle BOC}{\text{Площадь } \triangle COD} ]

   В силу равенства (AB = CD), площади (\triangle AOB) и (\triangle COD) равны. Следовательно, площади (\triangle AOB) и (\triangle COD) также равны между собой, и их сумма должна составлять разницу между площадью всей трапеции и суммой площадей (\triangle AOD) и (\triangle BOC).

   Поскольку (AB = CD), мы можем утверждать, что: [ \text{Площадь } \triangle AOB = \text{Площадь } \triangle COD ]

   Итак, площадь треугольника (\triangle AOB) равна: [ \text{Площадь } \triangle AOB = \frac{\text{Площадь } \triangle AOD - \text{Площадь } \triangle BOC}{2} = \frac{36\sqrt{2} - 16\sqrt{2}}{2} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника (AOB) равна (10\sqrt{2} \, \text{см}^2).

Для нахождения площади треугольника AOB нам необходимо воспользоваться свойствами трапеции. Так как AC перпендикулярно BD, то точка O является серединой диагонали AC и также серединой диагонали BD.

Из этого следует, что треугольники BOC и AOD равны по площади, а значит их площадь равна 16√2 см2. Также из условия известно, что AB=CD.

Так как AB=CD, то треугольники AOB и COD равны по площади. Из этого следует, что площадь треугольника AOB также равна 16√2 см2.

Итак, площадь треугольника AOB равна 16√2 см2.

Площадь треугольника AOB равна 56 под корнем 2 см2.