АBCD-параллелограмм,М и N - середины сторон ВС и АD. Докажите,что четырехугольник АМСN-параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник АМСN является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны равны или параллельны.

1. В параллелограмме ABCD стороны AB и CD равны, а также стороны AD и BC равны.
2. М и N — середины сторон BC и AD соответственно. Поэтому:
   • (AM = \frac{1}{2} AB) и (CN = \frac{1}{2} CD).
   • Поскольку AB = CD, то (AM = CN).
3. Аналогично, стороны (MS) и (AN) можно рассмотреть:
   • (MS = \frac{1}{2} BC) и (AN = \frac{1}{2} AD).
   • Поскольку BC = AD, то (MS = AN).

Таким образом, мы имеем:

• (AM = CN) (первый набор противоположных сторон равен) и
• (MS = AN) (второй набор противоположных сторон равен).

Следовательно, четырехугольник АМСN является параллелограммом по определению.

Чтобы доказать, что четырехугольник ( AMSN ) является параллелограммом, мы воспользуемся свойством параллелограммов, а именно: если две стороны одного четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Рассмотрим параллелограмм ( ABCD ) с вершинами ( A, B, C, D ). Пусть ( M ) и ( N ) — середины сторон ( BC ) и ( AD ) соответственно. Таким образом, мы имеем:

1. ( M ) — середина ( BC ), следовательно, ( BM = MC ).
2. ( N ) — середина ( AD ), следовательно, ( AN = ND ).

Теперь найдем векторы ( \overrightarrow{AM} ) и ( \overrightarrow{SN} ) и покажем, что они равны, а также найдем векторы ( \overrightarrow{MS} ) и ( \overrightarrow{AN} ) и покажем, что и они равны.

Выражение вершин через векторы

Обозначим векторы:

• ( \overrightarrow{A} = \mathbf{a} )
• ( \overrightarrow{B} = \mathbf{b} )
• ( \overrightarrow{C} = \mathbf{c} )
• ( \overrightarrow{D} = \mathbf{d} )

Определение середины

С учетом того, что ( M ) и ( N ) являются серединами отрезков, получим:

• ( \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2} )
• ( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{d}}{2} )

Векторы сторон

Теперь найдем векторы:

1. ( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2} - \mathbf{a} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c} - 2\mathbf{a}}{2} )
2. ( \overrightarrow{SN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{C} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{C} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{d}}{2} - \mathbf{c} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{d} - 2\mathbf{c}}{2} )

Теперь, чтобы показать, что ( \overrightarrow{AM} ) и ( \overrightarrow{SN} ) равны, необходимо показать, что: [ \overrightarrow{M} = \overrightarrow{N} ]

Параллельность сторон

Теперь найдем векторы:

1. ( \overrightarrow{MS} ) и ( \overrightarrow{AN} ):
   • ( \overrightarrow{MS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{M} )
   • ( \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{A} )

Поскольку ( M ) и ( N ) — середины сторон, то: [ \overrightarrow{MS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{S} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} ] [ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2} - \overrightarrow{A} ]

Заключение

Таким образом, мы показали, что:

• Векторы ( \overrightarrow{AM} ) и ( \overrightarrow{SN} ) равны,
• Векторы ( \overrightarrow{MS} ) и ( \overrightarrow{AN} ) равны.

Следовательно, четырехугольник ( AMSN ) является параллелограммом, так как две противоположные стороны равны и параллельны.

Для доказательства того, что четырехугольник AMCN является параллелограммом в параллелограмме ABCD, воспользуемся свойствами параллелограмма, серединами сторон и основными геометрическими фактами.

Доказательство:

1. Обозначим данное:

   • ABCD — параллелограмм, следовательно, его противоположные стороны параллельны и равны:
     [ AB \parallel CD, \quad AD \parallel BC, \quad AB = CD, \quad AD = BC. ]
   • M и N — середины сторон BC и AD соответственно. То есть:
     [ BM = MC, \quad AN = ND. ]

2. Что нужно доказать: Четырехугольник AMCN является параллелограммом. Для этого достаточно доказать, что его противоположные стороны:

   • AM \parallel CN и AM = CN,
   • AN \parallel MC и AN = MC.

Шаг 1. Докажем, что AM \parallel CN и AM = CN.

Рассмотрим стороны AM и CN:

• Точка M делит сторону BC пополам, а точка N делит сторону AD пополам.
• В параллелограмме ABCD стороны BC и AD параллельны и равны (по свойству параллелограмма). Следовательно, отрезки BM и AN, а также MC и ND также равны и параллельны.
• Таким образом, отрезки AM (соединяющий вершину A с серединой M стороны BC) и CN (соединяющий вершину C с серединой N стороны AD) являются параллельными, поскольку они соединяют вершины противоположных сторон параллелограмма через их середины. Также их длины равны, так как:
  [ AM = \frac{1}{2}AD, \quad CN = \frac{1}{2}BC, \quad AD = BC \implies AM = CN. ]

Итак, доказано, что:
[ AM \parallel CN, \quad AM = CN. ]

Шаг 2. Докажем, что AN \parallel MC и AN = MC.

Аналогично рассуждаем для сторон AN и MC:

• Точка N делит сторону AD пополам, а точка M делит сторону BC пополам.
• В параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны и равны (по свойству параллелограмма). Следовательно, отрезки AN и MC (соединяющие вершины противоположных сторон через их середины) также параллельны.
• Длины отрезков AN и MC равны, так как:
  [ AN = \frac{1}{2}AB, \quad MC = \frac{1}{2}CD, \quad AB = CD \implies AN = MC. ]

Итак, доказано, что:
[ AN \parallel MC, \quad AN = MC. ]

Вывод:

Мы показали, что противоположные стороны четырехугольника AMCN:

• AM \parallel CN и AM = CN,
• AN \parallel MC и AN = MC.

По определению параллелограмма, если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, AMCN — это параллелограмм.

[ \boxed{\text{Доказано, что } AMCN \text{ является параллелограммом.}} ]