ABCD-параллелограмм, 0-точка пересечения диагоналей. М- середина АВ, DA(вектор)=а (вектор). DC( вектор)...

a) Вектор DB = 1/2(DA + DC) = 1/2(a + b)

б) Вектор DO = 1/2(DA + DC) = 1/2(a + b)

в) Вектор AC = DC - DA = b - a

г) Вектор DM = 1/2(DA + DC) = 1/2(a + b)

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с точкой (O), где пересекаются его диагонали, и точкой (M), которая является серединой отрезка (AB). Даны векторы ( \vec{DA} = \vec{a} ) и ( \vec{DC} = \vec{b} ).

Для того чтобы выразить другие векторы через ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ), воспользуемся свойствами параллелограмма и свойствами векторов.

а) Вектор ( \vec{DB} )

Чтобы найти вектор ( \vec{DB} ), рассмотрим путь из точки (D) в точку (B) через (A): [ \vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} ] Известно, что ( \vec{DA} = \vec{a} ).

Так как (ABCD) — параллелограмм, ( \vec{AB} ) равен ( \vec{DC} ): [ \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b} ]

Следовательно: [ \vec{DB} = \vec{a} + \vec{b} ]

б) Вектор ( \vec{DO} )

Точка (O) — точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, она делит диагонали пополам. Диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O), и (O) является серединой этих диагоналей. Поскольку (O) — середина (BD): [ \vec{DO} = \frac{1}{2} \vec{DB} ]

Подставляем выражение для ( \vec{DB} ): [ \vec{DO} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) ]

в) Вектор ( \vec{AC} )

Для нахождения вектора ( \vec{AC} ), рассмотрим путь из точки (A) в точку (C) через (D): [ \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} ]

Известно, что ( \vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a} ) и ( \vec{DC} = \vec{b} ).

Следовательно: [ \vec{AC} = -\vec{a} + \vec{b} ]

г) Вектор ( \vec{DM} )

Точка (M) — середина отрезка (AB). Поэтому: [ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} ]

Так как ( \vec{AB} = \vec{b} ): [ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{b} ]

Теперь найдём вектор ( \vec{DM} ), используя путь из (D) в (M) через (A): [ \vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM} ]

Известно, что ( \vec{DA} = \vec{a} ) и ( \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{b} ).

Следовательно: [ \vec{DM} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} ]

Таким образом, выражения векторов через ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) следующие: [ \begin{aligned} &\text{а) } \vec{DB} = \vec{a} + \vec{b}, \ &\text{б) } \vec{DO} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}), \ &\text{в) } \vec{AC} = -\vec{a} + \vec{b}, \ &\text{г) } \vec{DM} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}. \end{aligned} ]

а) DB = a + b б) DO = 0.5a + 0.5b в) AC = -a - b г) DM = 0.5a