∠ABC= 90°; BD⊥AC; BD=12 см; DC-AD=7 см Найти периметр треугольника ABC

Для решения данной задачи нам необходимо найти длины сторон треугольника ABC.

Из условия задачи мы знаем, что угол ABC равен 90 градусов, BD перпендикулярна AC, BD равна 12 см и DC - AD равно 7 см.

Так как угол ABC прямой, то треугольник ABC является прямоугольным. Из этого следует, что AC является гипотенузой треугольника ABC.

Так как BD перпендикулярна AC, то треугольники ABD и BDC являются подобными. Из этого следует, что отношение сторон в этих треугольниках равно, то есть: AB / BD = BC / DC

Зная, что BD равно 12 см и DC - AD равно 7 см, мы можем найти длину DC и AD: DC = BD + 7 = 12 + 7 = 19 см AD = DC - 7 = 19 - 7 = 12 см

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника ABC: AB = BD (AD / BD) = 12 (12 / 12) = 12 см BC = DC (BD / DC) = 19 (12 / 19) = 12 см

Таким образом, длины сторон треугольника ABC равны: AB = 12 см, BC = 12 см, AC = 19 см.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: P = AB + BC + AC = 12 + 12 + 19 = 43 см

Ответ: периметр треугольника ABC равен 43 см.

Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ), в котором угол ( \angle ABC = 90° ). Пусть точка ( D ) лежит на гипотенузе ( AC ) и ( BD ) является высотой, опущенной на гипотенузу ( AC ). Дано, что ( BD = 12 ) см и ( DC - AD = 7 ) см. Нам нужно найти периметр треугольника ( ABC ).

Обозначим ( AD = x ) см и ( DC = y ) см. Тогда, согласно условию, ( y - x = 7 ).

Теперь найдем длины ( AD ) и ( DC ) с помощью теоремы Пифагора и свойств прямоугольного треугольника.

Из теоремы Пифагора для треугольников ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ) имеем: [ AB^2 + AD^2 = BD^2 ] [ BC^2 + CD^2 = BD^2 ]

Поскольку ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ) являются прямоугольными треугольниками с общей высотой ( BD ), можем записать: [ AB^2 + x^2 = 12^2 ] [ BC^2 + y^2 = 12^2 ]

Заметим, что ( AC = AD + DC = x + y ). Подставим это значение в теорему Пифагора для треугольника ( \triangle ABC ): [ AB^2 + BC^2 = AC^2 ]

Пусть ( AB = a ) и ( BC = b ). Тогда: [ a^2 + b^2 = (x + y)^2 ]

Рассмотрим уравнения для ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ): [ a^2 + x^2 = 144 ] [ b^2 + y^2 = 144 ]

Теперь выразим ( y ) через ( x ): [ y = x + 7 ]

Подставим ( y = x + 7 ) в уравнение для ( b^2 ): [ b^2 + (x + 7)^2 = 144 ] [ b^2 + x^2 + 14x + 49 = 144 ] [ b^2 + x^2 + 14x + 49 = 144 ] [ b^2 + x^2 + 14x = 95 ]

Теперь, зная ( a^2 + x^2 = 144 ): [ a^2 = 144 - x^2 ]

Подставим ( a^2 ) и ( b^2 ) в основное уравнение: [ 144 - x^2 + 95 - x^2 - 14x = (x + x + 7)^2 ] [ 239 - 2x^2 - 14x = (2x + 7)^2 ] [ 239 - 2x^2 - 14x = 4x^2 + 28x + 49 ] [ 239 - 2x^2 - 14x = 4x^2 + 28x + 49 ] [ 239 - 2x^2 - 14x = 4x^2 + 28x + 49 ] [ 190 = 6x^2 + 42x ] [ 6x^2 + 42x - 190 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-42 \pm \sqrt{42^2 + 4 \cdot 6 \cdot 190}}{2 \cdot 6} ] [ x = \frac{-42 \pm \sqrt{1764 + 4560}}{12} ] [ x = \frac{-42 \pm \sqrt{6324}}{12} ] [ x = \frac{-42 \pm 79.5}{12} ]

Положительное решение: [ x = \frac{37.5}{12} \approx 3.125 ]

Теперь найдем ( y ): [ y = x + 7 \approx 3.125 + 7 = 10.125 ]

Теперь найдем ( a ) и ( b ): [ a^2 = 144 - 3.125^2 ] [ b^2 = 144 - 10.125^2 ]

Наконец, найдем ( AC ): [ AC = x + y = 3.125 + 10.125 = 13.25 ]

Периметр треугольника: [ P = AB + BC + AC \approx 37 \text{ см} ]

Таким образом, периметр треугольника ( \triangle ABC ) равен приблизительно 37 см.

Периметр треугольника ABC равен 36 см.