√3^x*5^x/2=225 корень из 3 в степени x умножить на 5 в степени x/2=225 помогите решить пожалуйста))

Конечно! Давайте разберем уравнение ( \sqrt{3^x} \cdot \frac{5^x}{2} = 225 ).

Сначала упростим его. Мы можем переписать это уравнение как:

[ \frac{\sqrt{3^x} \cdot 5^x}{2} = 225 ]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

[ \sqrt{3^x} \cdot 5^x = 450 ]

Теперь давайте упростим выражение (\sqrt{3^x}). Мы знаем, что (\sqrt{3^x} = (3^x)^{1/2} = 3^{x/2}). Таким образом, уравнение становится:

[ 3^{x/2} \cdot 5^x = 450 ]

Теперь упростим это выражение. Мы можем представить его как произведение степеней с тем же показателем:

[ (3^{1/2} \cdot 5)^x = 450 ]

Это преобразование возможно, потому что:

[ 3^{x/2} \cdot 5^x = (3^{1/2})^x \cdot 5^x = (3^{1/2} \cdot 5)^x ]

Теперь, чтобы решить уравнение, мы можем взять логарифм от обеих сторон:

[ x \cdot \log(3^{1/2} \cdot 5) = \log(450) ]

Теперь упростим:

1. Найдем (\log(3^{1/2} \cdot 5)): [ \log(3^{1/2} \cdot 5) = \log(3^{1/2}) + \log(5) = \frac{1}{2} \log(3) + \log(5) ]

2. Найдем (\log(450)): [ \log(450) = \log(450) = \log(4.5 \cdot 10^2) = \log(4.5) + 2\log(10) ]

   Поскольку (\log(10) = 1), то: [ \log(450) = \log(4.5) + 2 ]

Теперь, подставив все значения обратно, у нас получится:

[ x \cdot \left( \frac{1}{2} \log(3) + \log(5) \right) = \log(4.5) + 2 ]

Итак, (x) будет равен:

[ x = \frac{\log(4.5) + 2}{\frac{1}{2} \log(3) + \log(5)} ]

После вычислений, используя логарифмические значения, вы получите численное значение для (x).

Для решения данного уравнения, сначала преобразуем его:

√3^x 5^(x/2) = 225 √(3^x 5^(x/2)) = 225 √(3^x √(5^x)) = 225 √(3^x 5^(x/2)) = 225 √(3^x * 5^x/2) = 225

Теперь преобразуем правую часть уравнения 225 к виду, удобному для нахождения корня:

225 = 3^2 5^2 225 = 3^2 (5^2)^(1/2) 225 = 3^2 √(5^2) 225 = 3^2 5

Теперь подставляем полученное значение в уравнение:

√(3^x 5^x/2) = √(3^2 5) √(3^x 5^x/2) = 3 5 3^(x/2) * 5^(x/4) = 15

Теперь приведем обе части уравнения к одной основе (например, основе 3):

3^(x/2) 3^(2x/4) = 3^2 5 3^(x/2 + x/2) = 3^2 5 3^x = 3^2 5 3^x = 9 * 5 3^x = 45

Таким образом, решением уравнения будет x = log3(45), что примерно равно 3.81.

Для решения данного уравнения нужно преобразовать его к виду, где базы у степеней совпадают. В данном случае √3 и 5 являются базами, поэтому можно записать √3 в виде 3^(1/2). Тогда уравнение примет вид:

(3^(1/2))^x * 5^(x/2) = 225

3^(x/2) * 5^(x/2) = 225

Теперь можно выразить 225 как произведение простых чисел: 225 = 3 3 5 5 = 3^2 5^2. Подставляем это значение обратно в уравнение:

3^(x/2) 5^(x/2) = 3^2 5^2

Теперь видим, что базы у степеней совпадают. Мы можем записать их как:

3^(x/2) 5^(x/2) = 3^2 5^2

Поэтому x/2 = 2, что значит x = 4. Ответ: x = 4.