35 балов- 1 задача Плоскости α и β параллельны. С точки М, не принадлежит этим плоскостям и не находится...

Длина отрезка В1В2 равна 9 см.

Для розв'язання цієї задачі спочатку зобразимо ситуацію на площині. Нехай точка М знаходиться поза площинами α і β. Проведемо промені, які перетинають площини α і β у точках А1, В1 та А2, В2 відповідно. Позначимо довжину відрізка А1А2 як х. Оскільки відрізок В1В2 на 2 см більший за відрізок А1А2, то його довжина буде (х + 2).

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику МВ1А1 маємо: МВ1² = МА1² + А1В1² 7² = МА1² + 4² 49 = МА1² + 16 МА1² = 33

Аналогічно, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику МВ2А2 маємо: МВ2² = МА2² + А2В2² 7² = МА2² + х² 49 = МА2² + х²

Також, оскільки площини α і β паралельні, то кут МА1В1 дорівнює куту МА2В2 і кут В1МА1 дорівнює куту В2МА2. Таким чином, трикутники МА1В1 та МА2В2 подібні.

За подібністю трикутників можемо записати: МА1/МА2 = В1В1/В2В2 33/МА2 = 4/(х + 2)

Отже, МА2 = 33(х + 2)/4

Підставляючи це значення в друге рівняння за теоремою Піфагора, отримуємо: 49 = (33(х + 2)/4)² + х²

Розв'язавши дане рівняння, отримаємо значення х. Після знаходження х можна обчислити довжину відрізка В1В2 як (х + 2).

Для решения задачи начнем с анализа геометрической ситуации. Поскольку плоскости α и β параллельны, любые лучи, проведенные из одной точки и пересекающие эти плоскости, создают подобные треугольники.

1. Рассмотрим треугольники MА1B1 и MА2B2. Так как лучи MА1 и MА2, а также MB1 и MB2 пересекают параллельные плоскости, эти треугольники подобны по двум углам (углы при вершине M равны, как вертикальные, а углы при точках A1 и A2 равны, так как образованы пересечением параллельных плоскостей с секущей).

2. Из условия известно, что:

   • MB1 = 7 см
   • A1B1 = 4 см
   • В1В2 = А1А2 + 2 см

3. Поскольку треугольники MА1B1 и MА2B2 подобны, отношение соответствующих сторон равно. То есть: [\frac{MB1}{MB2} = \frac{MA1}{MA2} = \frac{A1B1}{A2B2}.]

4. Разделим отрезок MB1 на два отрезка: MA1 и A1B1: [ MA1 = MB1 - A1B1 = 7 см - 4 см = 3 см.]

5. Так как треугольники подобны, то: [\frac{MA1}{MA2} = \frac{A1B1}{A2B2} = \frac{3}{3 + 4} = \frac{3}{7}.]

6. Определим A2B2. Из подобия следует: [A2B2 = \frac{7}{3} \times 4 = \frac{28}{3} \text{ см}.]

7. Для нахождения B1B2, если A1A2 = A2B2 - A1B1: [A1A2 = \frac{28}{3} - 4 = \frac{28}{3} - \frac{12}{3} = \frac{16}{3} \text{ см}.]

8. Так как B1B2 = A1A2 + 2 см: [B1B2 = \frac{16}{3} + 2 = \frac{16}{3} + \frac{6}{3} = \frac{22}{3} \text{ см}.]

Итак, длина отрезка B1B2 равна (\frac{22}{3} \text{ см}), что приблизительно равно 7.33 см.