2.) Векторы a и AB равны. Найдите координаты точки B, если a{2;-3;1}, A(1;4;0). 3.) Даны векторы a=-j+2k,...

2.) Вектор AB можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B. Так как вектора a и AB равны, то координаты точки B будут равны координатам точки A плюс координатам вектора a. Итак, координаты точки B будут (1 + 2; 4 - 3; 0 + 1), то есть B(3; 1; 1).

3.) Для нахождения вектора c нужно умножить вектор b на 1/2 и вычесть умноженный на 2 вектор a. Итак, c = 1/2 {2; 6; -4} - 2 {-1; 0; 2} = {1; 3; -2} - {-2; 0; 4} = {3; 3; -6}.

4.) Два вектора коллинеарны, если они параллельны и направлены в одну сторону или в противоположные стороны. Для того чтобы векторы a и b были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны. Это означает, что каждая координата вектора b должна быть равна произведению соответствующей координаты вектора a на некоторое число. Таким образом, необходимо найти такие значения m и n, при которых выполняется условие: 4/2 = m/-3 = 1/n. Отсюда получаем m = -6 и n = 2. Длины векторов a и b будут равны, так как они коллинеарны, а направления будут одинаковыми или противоположными в зависимости от значения m и n.

Давайте решим каждую из задач поочередно:

2.) Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \overrightarrow{AB} ) равны. Нам нужно найти координаты точки ( B ), если ( \mathbf{a} = {2; -3; 1} ) и ( A(1; 4; 0) ).

Если векторы равны, то их компоненты также равны. Вектор ( \overrightarrow{AB} ) можно записать как разность координат точек ( B ) и ( A ): [ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (x_B - 1, y_B - 4, z_B - 0). ]

Так как ( \overrightarrow{AB} = \mathbf{a} ), то: [ x_B - 1 = 2, ] [ y_B - 4 = -3, ] [ z_B - 0 = 1. ]

Решая эти уравнения, получаем: [ x_B = 3, ] [ y_B = 1, ] [ z_B = 1. ]

Таким образом, координаты точки ( B ) равны ( (3, 1, 1) ).

3.) Даны векторы ( \mathbf{a} = -\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = {0, -1, 2} ) и ( \mathbf{b} = {2, 6, -4} ). Найдите координаты вектора ( \mathbf{c} ), если ( \mathbf{c} = \frac{1}{2} \mathbf{b} - 2 \mathbf{a} ).

Сначала вычислим ( \frac{1}{2} \mathbf{b} ): [ \frac{1}{2} \mathbf{b} = \left{ \frac{1}{2} \times 2, \frac{1}{2} \times 6, \frac{1}{2} \times (-4) \right} = {1, 3, -2}. ]

Теперь вычислим ( -2 \mathbf{a} ): [ -2 \mathbf{a} = -2 \times {0, -1, 2} = {0, 2, -4}. ]

Теперь находим ( \mathbf{c} ): [ \mathbf{c} = {1, 3, -2} + {0, 2, -4} = {1, 5, -6}. ]

Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{c} ) равны ( {1, 5, -6} ).

4.) Найдите значения ( m ) и ( n ), при которых векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) коллинеарны, если ( \mathbf{a} = {2, m, 1} ), ( \mathbf{b} = {4, -2, n} ).

Векторы коллинеарны, если существует такое число ( k ), что каждый компонент одного вектора равен компоненту другого, умноженному на ( k ).

Рассмотрим соотношения:

1. ( 4 = 2k ) (для первой компоненты),
2. (-2 = mk) (для второй компоненты),
3. (n = k) (для третьей компоненты).

Из первого уравнения находим ( k ): [ k = \frac{4}{2} = 2. ]

Подставим ( k = 2 ) во второе уравнение: [ -2 = m \times 2, ] [ m = -1. ]

Подставим ( k = 2 ) в третье уравнение: [ n = 2. ]

Таким образом, для коллинеарности векторов значения ( m ) и ( n ) должны быть равны ( -1 ) и ( 2 ) соответственно.

Теперь сравним длины и направления векторов:

• Длина вектора ( \mathbf{a} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6} ).
• Длина вектора ( \mathbf{b} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} ).

Векторы имеют одинаковое направление, так как они коллинеарны, но длина вектора ( \mathbf{b} ) в два раза больше длины вектора ( \mathbf{a} ).