1)В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной, равной 9. Найдите длину дуги окружности,...

1) В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной, равной 9. Найдите длину дуги окружности, стягиваемой стороной шестиугольника.

Рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность. В таком шестиугольнике все стороны равны, и каждая сторона равна радиусу окружности. Обозначим радиус окружности как $R$. Поскольку сторона шестиугольника равна 9, то $R=9$.

В правильном шестиугольнике все углы равны, и каждый центральный угол, стягиваемый одной стороной шестиугольника, равен $\frac{{360}^{\circ }}{6}={60}^{\circ }$.

Длина дуги окружности, стягиваемой стороной шестиугольника, определяется по формуле: $L=2\pi R\cdot \frac{\theta }{{360}^{\circ }}$ где $\theta$ — центральный угол в градусах. Подставим значения: $L=2\pi \cdot 9\cdot \frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=2\pi \cdot 9\cdot \frac{1}{6}=3\pi$

Таким образом, длина дуги окружности, стягиваемой стороной шестиугольника, равна $3\pi$.

2) Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 7.

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r$ и радиус описанной окружности $R$ связаны следующим образом: $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Из условия задачи $r=7$, подставим это значение в первую формулу для $r$: $7=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ $a\sqrt{3}=42$ $a=\frac{42}{\sqrt{3}}=14\sqrt{3}$

Теперь найдём $R$: $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{14\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{14\cdot 3}{3}=14$

Длина окружности определяется по формуле: $C=2\pi R$ Подставим значение $R$: $C=2\pi \cdot 14=28\pi$

Таким образом, длина окружности, описанной около правильного треугольника, равна $28\pi$.

3) В правильном шестиугольнике ABCDFG проведены диагонали BC и CF. Докажите, что четырехугольник BCFG - прямоугольник, и выразите его стороны через сторону шестиугольника.

В правильном шестиугольнике все стороны равны, и все внутренние углы равны ${120}^{\circ }$. Рассмотрим диагонали $BC$ и $CF$ в шестиугольнике:

1. Сначала заметим, что $BC$ и $CF$ являются диагоналями, проходящими через центр шестиугольника. Следовательно, они делят шестиугольник на два равных треугольника с центральными углами ${120}^{\circ }$.

2. В правильном шестиугольнике диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются под прямым углом. В нашем случае $\mathrm{\angle }BCF={90}^{\circ }$, так как диагонали $BC$ и $CF$ проходят через центр и делят шестиугольник на две равные части.

3. Теперь рассмотрим стороны четырехугольника BCFG. Все стороны правильного шестиугольника равны и равны $a$. Так как $BC$ и $CF$ являются диагоналями, проходящими через центр, они равны двум сторонам шестиугольника: $BC=CF=2a$

Таким образом, четырехугольник BCFG является прямоугольником, так как его диагонали пересекаются под прямым углом, и его стороны равны:

• $BC$ и $CF$ равны $2a$,
• $BG$ и $GF$, равны $a$.

Итак, четырехугольник BCFG является прямоугольником со сторонами, выраженными через сторону шестиугольника $a$:

• Две противоположные стороны равны $2a$,
• Другие две противоположные стороны равны $a$.

1) Длина дуги окружности, стягиваемой стороной шестиугольника равна периметру шестиугольника, так как каждая сторона шестиугольника является радиусом вписанной окружности. Периметр правильного шестиугольника равен 6 * 9 = 54.

2) Радиус описанной около правильного треугольника окружности равен радиусу вписанной окружности плюс длина стороны треугольника. Таким образом, радиус описанной около треугольника окружности равен 7 + 7 = 14. Длина окружности равна 2π * 14 = 28π.

3) Так как диагонали правильного шестиугольника равны, то треугольники BCF и BCG являются равнобедренными. Также угол BFC равен углу BGC, так как они дополняют друг друга до 360 градусов. Следовательно, четырехугольник BCFG - прямоугольник.

Для выражения сторон четырехугольника BCFG через сторону шестиугольника, обозначим сторону шестиугольника как а. Тогда диагонали BC и CF равны 2а, а стороны BС, CF и BG, CF равны а. Таким образом, стороны прямоугольника BCFG будут равны 2а и а.