Давайте подробно разберем каждый из двух вопросов.
Вопрос 1:
Условие:
Радиус цилиндра равен 10 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Найдите площадь сечения.
Решение:
Сначала нужно понять, как расположен квадрат внутри цилиндра. Поскольку сечение удалено от оси цилиндра на 8 см, а радиус цилиндра 10 см, это означает, что квадратное сечение проходит через цилиндр таким образом, что расстояние от центра оси (где радиус максимален и равен 10 см) до стороны квадрата составляет 8 см.
Так как квадратное сечение параллельно оси цилиндра, то одна из сторон квадрата будет касаться внутренней поверхности цилиндра. Расстояние от центра оси цилиндра до любой точки на внутренней окружности равно радиусу цилиндра, т.е. 10 см. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это радиус цилиндра (10 см), один катет — это расстояние от оси до квадрата (8 см), а второй катет — это половина стороны квадрата (поскольку квадрат симметричен относительно оси цилиндра).
По теореме Пифагора:
[
s^2 + 8^2 = 10^2
]
[
s^2 = 100 - 64 = 36
]
[
s = 6 \text{ см}
]
Сторона квадрата равна двойной величине найденного катета (по две стороны от оси):
[
\text{Сторона квадрата} = 2 \times 6 = 12 \text{ см}
]
Таким образом, площадь квадрата равна:
[
\text{Площадь} = 12^2 = 144 \text{ см}^2
]
Вопрос 2:
Условие:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8√2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол в 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Решение:
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, диагональ которого делится на две равные части углом в 45 градусов, что означает, что высота цилиндра (h) равна радиусу основания (r) цилиндра.
Используя свойства прямоугольного треугольника с углом 45 градусов:
[
r = h = \frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 4 \text{ дм}
]
Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя две площади оснований и площадь боковой поверхности:
[
\text{Площадь оснований} = 2 \times \pi r^2 = 2 \times \pi \times 4^2 = 32\pi \text{ дм}^2
]
[
\text{Площадь боковой поверхности} = 2\pi rh = 2\pi \times 4 \times 4 = 32\pi \text{ дм}^2
]
[
\text{Полная площадь} = 32\pi + 32\pi = 64\pi \text{ дм}^2
]
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет 64π дм².