1.Найдите сколярное произведение векторов а и b (Векторов) вектор|а|=1,b(Корень из 2 ; -1) угал вектора(а,b)=30...

1. Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле: ab = |a| |b| cos(угол между векторами). Для начала найдем значение |b|: |b| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5. Теперь вычислим скалярное произведение: ab = 1 √5 cos(30°) = √5 cos(30°) = √5 √3 / 2 = √15 / 2.

2. Векторы a и b перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. Сначала выразим скалярное произведение a и b: a*b = (-2)(9) + (1)(m) = -18 + m. Теперь приравняем это к нулю: -18 + m = 0 => m = 18.

3. Для нахождения угла BAC воспользуемся формулой косинусов: cos(BAC) = (ABBC) / (|AB| |BC|). AB = √((-1 - 2)^2 + (3 - 3)^2) = √9 = 3, BC = √((-2 + 1)^2 + (-1 - 3)^2) = √5^2 + 4^2 = √29, ABBC = (-3)(-3 + 1) + (0)(-1 - 3) = 6, |AB| |BC| = 3 * √29 = 3√29. Теперь вычислим cos(BAC): cos(BAC) = 6 / (3√29) = 2 / √29. Найдем угол BAC: BAC = arccos(2 / √29) ≈ 28.96°. Для доказательства того, что угол BCA острый, необходимо показать, что cos(BAC) > 0, что выполняется для данного значения угла.

1. Скалярное произведение векторов a и b равно |a| |b| cos угла между ними. Подставляем данные: 1 √2 cos 30° = √2 * √3 / 2 = √6 / 2.

2. Для векторов a и b, чтобы они были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0. Подставляем данные: -2 9 + 1 m = 0, откуда m = 18.

3. Угол BAC можно найти по формуле cos угла = (AB AC) / |AB| |AC|. Подставляем данные: cos BAC = ((-3 + 3) + (-6 - 3)) / √13 * √10 = -9 / √130. Так как cos угла отрицательный, то угол BAC острый.

Конечно, давайте разберем ваши задачи по геометрии подробно.

Задача 1:

Найдите скалярное произведение векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), если (|\mathbf{a}| = 1), (\mathbf{b} = (\sqrt{2}, -1)), угол между векторами (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равен (30) градусам.

Скалярное произведение двух векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) определяется формулой: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta ] где (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — длины векторов, а (\theta) — угол между векторами.

1. Длина вектора (\mathbf{a}) дана: [ |\mathbf{a}| = 1 ]

2. Найдем длину вектора (\mathbf{b}): [ |\mathbf{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} ]

3. Угол между векторами: [ \theta = 30^\circ ]

4. Подставляем известные значения в формулу: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ ]

5. Вспомним, что (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}): [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} ]

Ответ: Скалярное произведение векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равно (\frac{3}{2}).

Задача 2:

Найдите значение (m), при котором векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) перпендикулярны, если (\mathbf{a} = (-2, 1)) и (\mathbf{b} = (9, m)).

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 ]

1. Найдем скалярное произведение векторов: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2) \cdot 9 + 1 \cdot m = -18 + m ]

2. Для перпендикулярности: [ -18 + m = 0 ]

3. Решаем уравнение: [ m = 18 ]

Ответ: Векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) будут перпендикулярны, если (m = 18).

Задача 3:

Найдите угол ( \angle BAC ), если ( A(2, 3) ), ( B(-1, 3) ), ( C(-2, -1) ). Докажите, что угол ( \angle BCA ) острый.

Чтобы найти угол ( \angle BAC ), нам нужно найти векторы (\mathbf{AB}) и (\mathbf{AC}), а затем использовать формулу для косинуса угла между векторами.

1. Вектор (\mathbf{AB}): [ \mathbf{AB} = B - A = (-1 - 2, 3 - 3) = (-3, 0) ]

2. Вектор (\mathbf{AC}): [ \mathbf{AC} = C - A = (-2 - 2, -1 - 3) = (-4, -4) ]

3. Найдем скалярное произведение (\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}): [ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (-3) \cdot (-4) + 0 \cdot (-4) = 12 ]

4. Найдем длины векторов (\mathbf{AB}) и (\mathbf{AC}): [ |\mathbf{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3 ] [ |\mathbf{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]

5. Найдем косинус угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{AB}| |\mathbf{AC}|} = \frac{12}{3 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

6. Угол (\theta) равен: [ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ ]

Ответ: Угол ( \angle BAC ) равен (45^\circ).

Теперь докажем, что угол ( \angle BCA ) острый.

1. Вектор (\mathbf{BC}): [ \mathbf{BC} = C - B = (-2 + 1, -1 - 3) = (-1, -4) ]

2. Найдем скалярное произведение (\mathbf{BC} \cdot \mathbf{AC}): [ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AC} = (-1) \cdot (-4) + (-4) \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 ]

3. Длины векторов (\mathbf{BC}) и (\mathbf{AC}): [ |\mathbf{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} ] [ |\mathbf{AC}| = 4\sqrt{2} ]

4. Найдем косинус угла между (\mathbf{BC}) и (\mathbf{AC}): [ \cos \phi = \frac{\mathbf{BC} \cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{BC}| |\mathbf{AC}|} = \frac{20}{\sqrt{17} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{20}{4\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} ]

Так как (\cos \phi > 0), угол (\angle BCA) острый.

Ответ: Угол ( \angle BCA ) острый.

Надеюсь, это поможет вам с контрольной работой!