1.Найдите радиус шара, если объём равен 288π. 2.Вершина квадрата лежат на сфере радиуса 10. Найдите...

Конечно, давайте разберём эти задачи по геометрии.

Задача 1: Найдите радиус шара, если объём равен ( 288\pi ).

Формула объёма шара ( V ) выражается через радиус ( r ) следующим образом: [ V = \frac{4}{3} \pi r^3 ]

Нам дан объём ( V = 288\pi ). Подставим это значение в формулу и решим для ( r ):

[ 288\pi = \frac{4}{3} \pi r^3 ]

Сократим на ( \pi \ ) с обеих сторон: [ 288 = \frac{4}{3} r^3 ]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на ( \frac{3}{4} ): [ 288 \times \frac{3}{4} = r^3 ] [ 216 = r^3 ]

Теперь найдём кубический корень из 216: [ r = \sqrt[3]{216} ]

216 представляется как ( 6^3 ), поэтому: [ r = 6 ]

Итак, радиус шара равен ( 6 ).

Задача 2: Вершина квадрата лежат на сфере радиуса 10. Найдите расстояние от центра сфера до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна ( 6\sqrt{2} ).

Рассмотрим сферу с центром в точке ( O ) и радиусом ( R = 10 ). Вершины квадрата лежат на сфере, а сторона квадрата равна ( 6\sqrt{2} ).

Пусть центр квадрата находится в точке ( P ). Квадрат расположен таким образом, что все его вершины касаются поверхности сферы.

Для нахождения расстояния от центра сферы ( O ) до плоскости квадрата воспользуемся следующим методом:

1. Определим длину диагонали квадрата. Диагональ квадрата ( d ) с длиной стороны ( a ) выражается формулой: [ d = a\sqrt{2} ]

Подставим ( a = 6\sqrt{2} ): [ d = (6\sqrt{2})\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12 ]

1. Квадрат вписан в сферу, значит его диагональ является диаметром сферы. Диаметр сферы: [ 2 \times R = 2 \times 10 = 20 ]

Однако мы видим, что диагональ квадрата ( d = 12 ) меньше диаметра сферы. Это значит, что квадрат расположен в плоскости, не проходящей через центр сферы.

1. Поскольку диагональ квадрата равна 12, а радиус сферы равен 10, мы можем рассмотреть треугольник, образованный радиусами сферы и половиной диагонали квадрата. Половина диагонали квадрата: [ \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 ]

2. В этом треугольнике угол между радиусами ( R ) и ( 6 ) составляет прямой угол (90 градусов), так как половина диагонали квадрата и радиусы образуют прямоугольный треугольник.

3. Расстояние от центра сферы до плоскости квадрата ( h ) можно найти по теореме Пифагора: [ R^2 = h^2 + \left( \frac{d}{2} \right)^2 ] [ 10^2 = h^2 + 6^2 ] [ 100 = h^2 + 36 ] [ h^2 = 64 ] [ h = \sqrt{64} ] [ h = 8 ]

Итак, расстояние от центра сферы до плоскости квадрата равно ( 8 ).

1. Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr^3, где r - радиус шара. По условию задачи объем равен 288π, следовательно:

288π = (4/3)πr^3 r^3 = (3/4) * 288 r^3 = 216 r = ∛216 r = 6

Ответ: радиус шара равен 6.

1. Расстояние от центра сферы до плоскости квадрата можно найти, используя формулу для расстояния от точки до плоскости. По условию задачи известно, что радиус сферы равен 10, а сторона квадрата равна 6√2.

Так как вершина квадрата лежит на сфере, то диагональ квадрата равна диаметру сферы и равна 2 * 10 = 20. Зная, что сторона квадрата равна 6√2, можем найти расстояние от центра сферы до плоскости квадрата по теореме Пифагора:

(20/2)^2 = (6√2/2)^2 + h^2 10^2 = 18 + h^2 h^2 = 100 - 18 h^2 = 82 h = √82

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости квадрата равно √82.