1.Начертите куб ABCDA1B1C1D1 и выберите две произвольные точки М и К внутри грани ABCD. Постройте: а)...

а) Прямая пересечения плоскости A1MK и плоскости грани ABCD куба проходит через точки М и К. б) Точки пересечения плоскости A1MK с прямыми, содержащими ребра AD, ВС и DD1 куба являются точками пересечения плоскости A1MK с этими ребрами. в) Отрезки прямых, по которым плоскость A1MK пересекает грани АВВ1А1, ADD1A1 и A1B1C1D1 куба, проходят через точки пересечения этой плоскости с соответствующими гранями.

Для решения задачи сначала начертим куб ABCDA1B1C1D1. Грань ABCD лежит в одной плоскости, а точки A1, B1, C1, D1 соответственно являются вершинами, расположенными над каждой из вершин грани ABCD, так что они формируют верхнюю грань куба.

1. Выберем точки M и K на грани ABCD. Поскольку точки находятся внутри плоскости грани, они не лежат на рёбрах.

а) Построим плоскость A1MK. Эта плоскость будет пересекать грань ABCD по прямой MK, так как M и K принадлежат этой грани. Поскольку A1 находится вне плоскости ABCD и M, K внутри неё, прямая MK будет линией пересечения плоскостей A1MK и ABCD.

б) Теперь найдём точки пересечения плоскости A1MK с прямыми, содержащими рёбра куба AD, BC и DD1:

• Прямая AD: Поскольку точка A лежит в плоскости ABCD, а точка D в плоскости ADD1, прямая AD будет пересечена плоскостью A1MK в некоторой точке, скажем P. Точка P можно найти как пересечение прямой AD с прямой MK, продолженной до пересечения с AD.
• Прямая BC: Аналогично точке P, прямая BC будет пересечена в точке Q, которая также лежит на продолжении прямой MK до пересечения с BC.
• Прямая DD1: Поскольку D1 находится на верхней грани куба, а точка D на грани ADD1A1, прямая DD1 будет пересечена плоскостью A1MK в точке R, которая лежит на линии, проведённой от D к D1 и пересекающей плоскость A1MK.

в) Определим отрезки прямых, по которым плоскость A1MK пересекает другие грани куба:

• Грань ABB1A1: Плоскость A1MK пересечёт эту грань по отрезку AQ, где A - вершина грани, а Q - точка на ребре BC, найденная ранее.
• Грань ADD1A1: Плоскость пересечёт эту грань по отрезку AP, где A - вершина грани, а P - точка на ребре AD, найденная ранее.
• Грань A1B1C1D1: Плоскость пересечёт эту грань по прямой A1R, где A1 - вершина куба, а R - точка пересечения с ребром DD1.

Таким образом, мы определили все необходимые элементы для данной задачи по геометрии куба.

Для начала построим плоскость А1МК, которая проходит через точки A1, М и К. Затем найдем точку пересечения этой плоскости с плоскостью грани ABCD куба. Для этого проведем прямую, проходящую через точки А и К, а также прямую, проходящую через точки В и М. Пересечение этих прямых даст нам точку пересечения плоскости А1МК с плоскостью грани ABCD.

Далее проведем прямые, содержащие ребра AD, ВС и DD1 куба. Найдем точки их пересечения с плоскостью А1МК. Для этого можно провести прямые, параллельные этим ребрам и проходящие через точки А1, М и К. Точки пересечения этих прямых с соответствующими ребрами куба будут точками пересечения плоскости А1МК с этими прямыми.

Наконец, отрезки прямых, по которым плоскость А1МК пересекает грани АВВ1А1, ADD1A1 и A1B1C1D1 куба, можно найти, проведя прямые, параллельные ребрам куба и проходящие через точки пересечения плоскости А1МК с этими гранями.

Таким образом, мы можем определить прямую пересечения плоскости А1МК и плоскости грани ABCD, точки пересечения плоскости А1МК с прямыми, содержащими ребра куба, а также отрезки прямых, по которым плоскость А1МК пересекает другие грани куба.