1) Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости . Вершина А ей не принадлежит. Докажите, что прямая,...

Прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости, так как является медианой треугольника АВС, которая параллельна плоскости, содержащей сторону ВС.

Для доказательства параллельности прямой, проходящей через середины отрезков АВ и АС, плоскости, обозначим середины отрезков АВ и АС как М и N соответственно. Также обозначим точку пересечения прямой, проходящей через вершины В и С, и плоскости, как D.

Так как В и С лежат в плоскости, то прямая, проходящая через них, лежит в этой плоскости. Значит, отрезок ВС лежит в этой плоскости. Также, так как точка D лежит на прямой ВС, то и она лежит в плоскости.

Теперь рассмотрим треугольник АМN. Так как М и N - середины отрезков АВ и АС, то отрезок MN параллелен отрезку ВС $таккакэтоотрезок,соединяющийсерединыпараллельныхотрезков$. Следовательно, прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна прямой ВС и, следовательно, плоскости.

Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости.

Чтобы доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, параллельна плоскости, в которой лежат точки $B$ и $C$, воспользуемся свойствами средних линий треугольника. Рассмотрим треугольник $ABC$, где точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\pi$, а точка $A$ не принадлежит этой плоскости.

1. Обозначим середины отрезков $AB$ и $AC$ как $M$ и $N$ соответственно.

2. Рассмотрим треугольники $AMB$ и $ANC$. Поскольку $M$ и $N$ являются серединами отрезков $AB$ и $AC$, то отрезки $AM$ и $MB$, а также $AN$ и $NC$ равны.

3. Рассмотрим отрезок $MN$. Поскольку $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

4. Средняя линия треугольника обладает важным свойством: она параллельна третьей стороне треугольника и равна половине её длины. Таким образом, отрезок $MN$ параллелен стороне $BC$ треугольника $ABC$.

5. Поскольку $BC$ лежит в плоскости $\pi$, а $MN$ параллелен $BC$, то по свойству параллельных прямых, прямая $MN$ также параллельна плоскости $\pi$.

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, действительно параллельна плоскости $\pi$, в которой лежат вершины $B$ и $C$.