1) В треугольнике ABC сторона AC=5 см, угол B - 30 градусов, угол A = 45 градусов , найти AB и BС по...

Для решения задачи с использованием теоремы синусов, необходимо помнить основное утверждение этой теоремы: в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противоположных углов. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( A, B, C ) — углы, лежащие напротив этих сторон.

Даны:

• AC = 5 см
• ∠B = 30°
• ∠A = 45°

Для начала найдем угол C, используя сумму углов в треугольнике:

[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 45° - 30° = 105° ]

Теперь применим теорему синусов. Пусть:

• AB = c
• BC = a
• AC = b = 5 см

Тогда: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Подставим известные значения: [ \frac{BC}{\sin 45°} = \frac{5 \text{ см}}{\sin 30°} = \frac{AB}{\sin 105°} ]

Зная значения синусов углов: [ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \sin 105° = \sin (180° - 75°) = \sin 75° = \cos 15° ]

Используем формулу косинуса для угла: [ \cos 15° = \cos (45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30° ]

Подставим значения: [ \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2} ]

Тогда: [ \cos 15° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Теперь подставим в теорему синусов: [ \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} ]

Упростим каждую дробь: [ \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2BC}{\sqrt{2}} = BC \cdot \sqrt{2} ]

[ \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10 ]

[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4AB}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ]

Сравнивая обе части: [ BC \cdot \sqrt{2} = 10 \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \text{ см} ]

[ \frac{4AB}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 10 \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \approx 6.84 \text{ см} ]

Таким образом, длины сторон AB и BC в треугольнике ABC составляют:

• AB ≈ 6.84 см
• BC ≈ 7.07 см

AB ≈ 5.31 см, BC ≈ 5.77 см.

Для нахождения сторон треугольника ABC по теореме синусов, нужно воспользоваться формулой: AB/sin(A) = AC/sin(B) = BC/sin(C)

Известно, что сторона AC = 5 см, угол B = 30 градусов, угол A = 45 градусов. Найдем угол C: C = 180 - A - B C = 180 - 45 - 30 C = 105 градусов

Теперь можем найти сторону AB: AB/sin(45) = 5/sin(30) AB = 5sin(45)/sin(30) AB = 5√2/2 / 1/2 AB = 5*√2 AB ≈ 7.07 см

Аналогично найдем сторону BC: BC/sin(105) = 5/sin(30) BC = 5sin(105)/sin(30) BC ≈ 50.966/0.5 BC ≈ 9.66 см

Итак, сторона AB ≈ 7.07 см, сторона BC ≈ 9.66 см.