1 . В трапеции ABCD (ВC || AD) ВС = 9 см, AD = 16 см, BD = 18 см. Точка О – точка пересечения AC и BD....

1. Для нахождения длины отрезка ОВ воспользуемся теоремой Таллеса. Поскольку точка О - точка пересечения диагоналей трапеции, то отрезки AO и OC равны по длине. Также, по теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике BOD с гипотенузой BD и катетами BO и OD, справедливо соотношение: BD^2 = BO^2 + OD^2. Известно, что BD = 18 см, AD = 16 см, а BC = 9 см. Поэтому OD = AD - DC = 16 - 9 = 7 см. Теперь можем найти длину BO, применив теорему Пифагора: BO^2 = BD^2 - OD^2 = 18^2 - 7^2 = 324 - 49 = 275, BO = √275 см. Так как отрезки AO и OC равны, то ОВ = 2 BO = 2 √275 см.

2. Для нахождения длины CD воспользуемся теоремой Пифагора. Поскольку хорды AB и CD пересекаются в точке Е, то AE EB = CE ED. Известно, что AE = 3, BE = 36, а отношение CE к DE равно 3:4, таким образом CE = 3x, DE = 4x. Имеем: 3 36 = 3x 4x, 108 = 12x^2, x^2 = 9, x = 3. Теперь можем найти CD: CD = 4x = 4 * 3 = 12 см.

Для нахождения наименьшего значения радиуса окружности, описанной вокруг четырехугольника AECD, воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности в правильном четырехугольнике: R = a √(b^2 + c^2) / 4S, где a, b, c - стороны четырехугольника, а S - его площадь. В нашем случае, a = CD = 12 см, b = CE = 3 3 = 9 см, c = DE = 4 3 = 12 см. Площадь четырехугольника можно найти по формуле площади треугольника: S = 1/2 AE EB sin(∠AEB), где sin(∠AEB) = √(1 - (AE / AB)^2) = √(1 - (3 / 39)^2) = √(1 - 1/169) = √(168/169) = √168 / 13. Таким образом, S = 1/2 3 36 √168 / 13 = 54 √168 / 13.

Подставляем все значения в формулу для радиуса и находим его: R = 12 √(9^2 + 12^2) / (4 54 √168 / 13) = 12 √(81 + 144) / (216 √168 / 13) = 12 √225 / (216 √168 / 13) = 12 15 / (216 √168 / 13) = 180 / (216 √168 / 13) = 180 13 / (216 √168) = 2340 / (216 * √168) ≈ 2.33 см.

Таким образом, наименьшее значение радиуса описанной окружности равно примерно 2.33 см.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства подобных треугольников и теорему о пересечении хорд.

1. Задача с трапецией:

В трапеции ( ABCD ) с основаниями ( BC \parallel AD ), даны ( BC = 9 ) см, ( AD = 16 ) см и диагональ ( BD = 18 ) см. Нужно найти длину отрезка ( OB ).

Поскольку ( BC \parallel AD ), то треугольники ( \triangle BOC ) и ( \triangle DOA ) подобны (по признаку параллельности).

Обозначим ( OB = x ). Поскольку треугольники подобны, то:

[ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} ]

Подставляем известные значения:

[ \frac{x}{18 - x} = \frac{9}{16} ]

Решим это уравнение:

[ 16x = 9(18 - x) ]

[ 16x = 162 - 9x ]

[ 25x = 162 ]

[ x = \frac{162}{25} = 6.48 \text{ см} ]

Таким образом, ( OB = 6.48 ) см.

2. Задача с хордами:

Хорды ( AB ) и ( CD ) пересекаются в точке ( E ), и дано, что ( AE = 3 ), ( BE = 36 ), соотношение ( \frac{CE}{DE} = \frac{3}{4} ). Требуется найти длину хорды ( CD ) и наименьшее значение радиуса окружности.

По теореме о пересечении хорд, произведения отрезков, на которые каждая хорда делится точкой пересечения, равны:

[ AE \cdot BE = CE \cdot DE ]

Подставим известные значения:

[ 3 \cdot 36 = CE \cdot DE ]

[ 108 = CE \cdot DE ]

Пусть ( CE = 3x ) и ( DE = 4x ) (по данному соотношению). Тогда:

[ 3x \cdot 4x = 108 ]

[ 12x^2 = 108 ]

[ x^2 = 9 ]

[ x = 3 ]

Следовательно, ( CE = 9 ) и ( DE = 12 ).

Теперь найдём длину хорды ( CD ):

[ CD = CE + DE = 9 + 12 = 21 \text{ см} ]

Для нахождения наименьшего радиуса окружности воспользуемся формулой для радиуса окружности, в которую вписана хорда:

[ R = \frac{l^2}{4d} ]

где ( l ) - длина хорды, а ( d ) - расстояние от центра окружности до хорды. В данном случае, для точного вычисления радиуса необходимо дополнительное условие, например, расстояние от центра окружности до хорды. Без этой информации радиус окружности определить невозможно. Если предположить, что центр окружности находится на пересечении хорд, то:

[ R = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ см} ]

Таким образом, радиус окружности, содержащей хорду ( CD = 21 ) см, при заданной конфигурации должен быть не менее ( 10.5 ) см, но для точного определения требуются дополнительные данные о положении центра окружности.