1) В сектор с центральным углом 90° вписан круг так, что он касается радиусов и дуги. Найдите отношение...

Для нахождения отношения площади сектора к площади круга нужно выразить площадь сектора через радиус и центральный угол, а затем поделить на площадь круга. Площадь сектора можно найти по формуле S = (πr^2 * α) / 360, где r - радиус, α - центральный угол. Площадь круга равна πr^2. Подставив значения, можно найти отношение площадей.

Для решения данной задачи нам необходимо выразить площадь сектора и площадь круга через радиусы и центральный угол.

Площадь сектора можно выразить как произведение отношения центрального угла к полному углу (90° к 360°) на площадь круга. То есть S_сектора = (90/360) * πr^2 = (1/4)πr^2.

Площадь круга равна πr^2.

Теперь найдем отношение площади сектора к площади круга: (1/4)πr^2 / πr^2 = 1/4.

Таким образом, отношение площади сектора к площади круга равно 1/4.

Чтобы найти отношение площади сектора к площади круга, вписанного в этот сектор, нужно рассмотреть геометрические свойства задачи.

1. Определим параметры сектора:

   • Центральный угол сектора составляет (90^\circ), что равно (\frac{\pi}{2}) в радианах.
   • Пусть радиус окружности, определяющей сектор, равен (R).

2. Площадь сектора:

   • Площадь полного круга с радиусом (R) равна ( \pi R^2 ).
   • Площадь сектора с центральным углом (\frac{\pi}{2}) составляет четверть от площади полного круга, то есть: [ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{4} \pi R^2 ]

3. Найдем радиус вписанного круга:

   • Вписанный круг касается двух радиусов и дуги сектора. Для сектора с углом (90^\circ) его центр будет находиться на биссектрисе угла, на равном расстоянии от обеих сторон угла.
   • Радиус вписанного круга (r) можно найти из треугольника, образованного радиусами и дугой. В данном случае, радиус вписанного круга равен: [ r = \frac{R}{2} ]

4. Площадь вписанного круга:

   • Площадь круга с радиусом (r = \frac{R}{2}) равна: [ S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4} ]

5. Отношение площадей:

   • Теперь найдем отношение площади сектора к площади вписанного круга: [ \text{Отношение} = \frac{S{\text{сектора}}}{S{\text{круга}}} = \frac{\frac{1}{4} \pi R^2}{\frac{\pi R^2}{4}} = 1 ]

Таким образом, отношение площади сектора к площади вписанного круга равно 1.