1) В прямоугольнике ABCD диагональ равна 25 см, AB = 7 см. Найдите векторы |BC - BA + CD| 2) В треугольнике...

1) Для нахождения вектора |BC - BA + CD| сначала найдем векторы BC, BA и CD. Вектор BC = C - B = (-7, 0) - (7, 0) = (-14, 0) Вектор BA = A - B = (0, 0) - (7, 0) = (-7, 0) Вектор CD = D - C = (0, 0) - (-7, 0) = (7, 0)

Теперь найдем вектор |BC - BA + CD|: |BC - BA + CD| = |-14, 0 - (-7, 0) + (7, 0)| |BC - BA + CD| = |-14 + 7 + 7, 0| = |-14, 0| |BC - BA + CD| = (14, 0)

Ответ: вектор |BC - BA + CD| = (14, 0)

2) Для выражения векторов AB, BC, CA через векторы a и b воспользуемся свойством медиан в треугольнике. Медиана делит сторону треугольника пополам, поэтому вектор MA = MB = MC = 0.5*(AB + AC). Также вектор MA = a, MB = b.

Из этого следует: AB = 2a BC = 2b CA = 2*(a + b)

Ответ: AB = 2a, BC = 2b, CA = 2*(a + b)

Давайте рассмотрим оба вопроса по порядку.

Вопрос 1:

Дан прямоугольник (ABCD) с диагональю (AC) равной 25 см и одной из сторон (AB = 7) см. Мы хотим найти векторное выражение (|\vec{BC} - \vec{BA} + \vec{CD}|).

1. Нахождение длины стороны (BC):

   Так как (AC) — диагональ прямоугольника, она будет гипотенузой прямоугольного треугольника (ABC) с катетами (AB) и (BC). Применим теорему Пифагора:

   [ AC^2 = AB^2 + BC^2 \implies 25^2 = 7^2 + BC^2 \implies 625 = 49 + BC^2 \implies BC^2 = 576 \implies BC = 24 \text{ см} ]

2. Нахождение векторов:

   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому (|\vec{CD}| = |\vec{AB}| = 7) см и (|\vec{BC}| = 24) см. Векторы (\vec{BA}), (\vec{BC}), и (\vec{CD}) можно выразить как:

   [ \vec{BA} = -\vec{AB}, \quad \vec{CD} = \vec{AB}, \quad \vec{BC} = \vec{BC} ]

3. Выражение (|\vec{BC} - \vec{BA} + \vec{CD}|):

   Подставим векторы:

   [ |\vec{BC} - \vec{BA} + \vec{CD}| = |\vec{BC} + \vec{AB} + \vec{AB}| = |\vec{BC} + 2\vec{AB}| ]

   Это равенство можно представить в координатах, но если мы интересуемся только модулем, то:

   [ |\vec{BC} + 2\vec{AB}| = \sqrt{BC^2 + (2AB)^2} = \sqrt{24^2 + (2 \times 7)^2} = \sqrt{576 + 196} = \sqrt{772} ]

Вопрос 2:

В треугольнике (ABC) точка (M) является точкой пересечения медиан, и дана следующая информация: ( \vec{MA} = \vec{a}, \vec{MB} = \vec{b} ).

Мы знаем, что точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, начиная от вершины. Это помогает установить связи между векторами:

1. Нахождение (\vec{AB}), (\vec{BC}), (\vec{CA}):

   По определению точка (M) делит медианы в отношении 2:1, поэтому:

   [ \vec{MC} = -\vec{a} - \vec{b} ]

   Это следует из того, что сумма векторов от любой точки к вершинам треугольника равна нулю:

   [ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 0 \implies \vec{MC} = -\vec{a} - \vec{b} ]

2. Выражение векторов сторон:

   [ \vec{AB} = \vec{MB} - \vec{MA} = \vec{b} - \vec{a} ]

   [ \vec{BC} = \vec{MC} - \vec{MB} = (-\vec{a} - \vec{b}) - \vec{b} = -\vec{a} - 2\vec{b} ]

   [ \vec{CA} = \vec{MA} - \vec{MC} = \vec{a} - (-\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} + \vec{b} ]

Таким образом, векторы сторон треугольника выражаются через ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) следующим образом:

• (\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a})
• (\vec{BC} = -\vec{a} - 2\vec{b})
• (\vec{CA} = 2\vec{a} + \vec{b})