1) Сторона правильного треугольника вписанного в окружность равна 5 корень из 3 см. Найти сторону правильного...

Для решения данных задач воспользуемся свойствами правильных многоугольников и окружностей.

Задача 1

Дано: Сторона правильного треугольника (равностороннего) равна ( a = 5\sqrt{3} ) см.

Найти: Сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, в которую вписан данный треугольник.

Решение:

1. Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник (r): Формула для радиуса вписанной окружности правильного треугольника: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ] Подставим значение стороны: [ r = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{15}{6} = 2.5 \text{ см} ]

2. Найдем сторону правильного шестиугольника (A), описанного около этой окружности: Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, длина стороны равна радиусу вписанной окружности: [ A = r = 2.5 \text{ см} ]

Ответ: Сторона правильного шестиугольника равна 2.5 см.

Задача 2

Дано: Радиус окружности, описанной около многоугольника ( R = 2\sqrt{3} ) см и радиус окружности, вписанной в него ( r = 3 ) см.

Найти: Сторону многоугольника и количество его сторон (n).

Решение:

1. Используем соотношение между радиусами R и r и количеством сторон n: Для правильного многоугольника справедливо следующее: [ \frac{R}{r} = \frac{1}{\sin(\pi/n)} ] Подставим известные значения: [ \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sin(\pi/n)} ] Отсюда: [ \sin(\pi/n) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

2. Решим уравнение для n: Значение ( \sin(\pi/n) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) соответствует углу ( \pi/n = \frac{\pi}{3} ). Это значит, что: [ n = 3 ]

3. Найдем сторону многоугольника: Формула для стороны правильного многоугольника: [ a = 2R \sin(\pi/n) ] Подставим значения: [ a = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} ]

Ответ: Сторона многоугольника равна 6 см, количество сторон ( n = 3 ). Это треугольник.

Задача 1. Сторона правильного треугольника вписанного в окружность равна ( 5\sqrt{3} ). Найти сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Решение:

1. Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность. У правильного треугольника каждая его вершина лежит на окружности. Если сторона треугольника равна ( a = 5\sqrt{3} ), то радиус окружности, описанной около треугольника, выражается через сторону следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. ] Подставляем ( a = 5\sqrt{3} ): [ R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \, \text{см}. ]

2. Перейдём к правильному шестиугольнику, описанному около этой же окружности. У правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус окружности совпадает с радиусом вписанной окружности для шестиугольника, а сторона правильного шестиугольника равна: [ S = 2R. ] Подставляем значение ( R = 5 ): [ S = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{см}. ]

Ответ:

Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна ( 10 \, \text{см} ).

Задача 2. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен ( 2\sqrt{3} ), а радиус окружности, вписанной в него, равен ( 3 ). Найти сторону многоугольника и количество его сторон.

Решение:

1. Связь радиуса описанной и вписанной окружности. Для правильного ( n )-угольника радиус описанной окружности (( R )) и радиус вписанной окружности (( r )) связаны соотношением: [ R = \frac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}. ] Подставляем значения ( R = 2\sqrt{3} ) и ( r = 3 ): [ 2\sqrt{3} = \frac{3}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}. ] Умножим обе части на ( \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) ): [ \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

2. Найдём угол, соответствующий ( \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Значение ( \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} ) соответствует углу ( \theta = 30^\circ ), то есть: [ \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6}. ] Отсюда: [ n = 6. ]

3. Найдём сторону правильного шестиугольника. Сторона правильного многоугольника связана с радиусом описанной окружности ( R ) формулой: [ S = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right). ] Подставляем ( R = 2\sqrt{3} ), ( n = 6 ), и ( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} ): [ S = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Ответ:

Сторона правильного многоугольника равна ( 2\sqrt{3} \, \text{см} ), количество сторон ( n = 6 ).