Середины сторон CD и BD треугольника BCD лежат в плоскости , а сторона ВС не лежит в этой плоскости: Докажите, что прямая ВС и плоскость параллельны.
Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что любые три из них не лежат на одной прямой.
Прямая ^ КМ параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости AВС. Выясните взаимное расположение прямых КМ и AВ и найдите угол между ними, если AВС = 110°.
Давайте рассмотрим каждый из вопросов по отдельности.
Пусть M и N — середины сторон CD и BD соответственно. Если M и N лежат в одной плоскости, то линия, соединяющая эти точки, также лежит в этой плоскости. Поскольку BC не лежит в плоскости, но параллельна линии MN, то это означает, что BC параллельна плоскости. Параллельность прямой и плоскости определяется тем, что если через любую точку прямой можно провести плоскость, параллельную данной, и эта прямая не пересекает плоскость, то они параллельны.
Если точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, это значит, что они образуют тетраэдр, и ни одна тройка из этих точек не может быть коллинеарной. Если бы какие-либо три точки были на одной прямой, то все четыре точки лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию. Следовательно, любые три из этих точек не могут лежать на одной прямой.
Поскольку KM параллельна BC и является прямой, не лежащей в плоскости ABC, она также параллельна плоскости, содержащей AB и BC. AB и BC являются сторонами параллелограмма, следовательно, они пересекаются под углом, который равен внутреннему углу параллелограмма.
Поскольку угол между AB и BC равен 110°, и BC параллельна KM, угол между AB и KM будет равен 70°. Это следует из того, что если две прямые параллельны, то угол между третьей прямой и одной из параллельных будет дополнительным к углу между этой третьей прямой и другой параллельной, то есть 180° - 110° = 70°.
Таким образом, угол между прямыми KM и AB равен 70°.
Прямая ВС и плоскость параллельны, так как сторона ВС не лежит в плоскости, содержащей середины сторон CD и BD, значит ВС не перпендикулярна этой плоскости, а значит параллельна ей.
Любые три точки из А, В, С и D, не лежат на одной прямой, так как они не лежат в одной плоскости.
Прямая КМ параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD, значит она параллельна плоскости ABC. Угол между прямыми КМ и АВ равен 110°, так как это угол между параллельными прямыми и пересекающей их плоскостью.
Пусть M и N - середины сторон CD и BD соответственно. Так как сторона BC не лежит в плоскости, то прямая BC и плоскость не пересекаются. Поскольку M и N лежат в плоскости, то прямая MN лежит в этой плоскости. Так как прямая MN параллельна стороне BC (так как M и N - середины), то и прямая BC параллельна плоскости. Следовательно, прямая BC и плоскость параллельны.
Предположим, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Тогда отрезок AB и отрезок BC лежат на одной прямой, а значит и отрезок AC должен лежать на этой же прямой. Но по условию точка D не лежит в этой плоскости, следовательно, все четыре точки не могут лежать на одной прямой.
Поскольку прямая KM параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости ABC, то она параллельна плоскости, содержащей сторону BC. Следовательно, прямая KM параллельна плоскости ABC. Угол между прямыми KM и AB равен дополнительному углу к углу ABC, то есть 180° - 110° = 70°.
