- Площадь боковой поверхности цилиндра равна 60π м2, а радиус основания – 5 м. Найти длину образующей цилиндра.
Для нахождения длины образующей цилиндра воспользуемся формулой для площади боковой поверхности цилиндра:
Sб = 2πrh,
где Sб - площадь боковой поверхности цилиндра, r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
Из условия задачи известно, что Sб = 60π м2 и r = 5 м. Подставим данные в формулу:
60π = 2π 5 h, 60 = 10h, h = 6 м.
Теперь найдем длину образующей цилиндра, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, высотой и образующей цилиндра:
l = √(r^2 + h^2), l = √(5^2 + 6^2), l = √(25 + 36), l = √61.
Таким образом, длина образующей цилиндра равна √61 метров.
Для решения задачи воспользуемся формулой для площади боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра ( S ) выражается как:
[ S = 2\pi r h, ]
где ( r ) — радиус основания цилиндра, а ( h ) — высота цилиндра.
В данном случае площадь боковой поверхности ( S = 60\pi ) м(^2), а радиус основания ( r = 5 ) м. Необходимо найти высоту цилиндра ( h ), которая в контексте цилиндра также является длиной образующей, так как образующая — это отрезок, соединяющий две точки на окружностях оснований и параллельный оси цилиндра.
Подставим известные значения в формулу:
[ 60\pi = 2\pi \cdot 5 \cdot h. ]
Упростим уравнение, сократив обе стороны на ( \pi ):
[ 60 = 2 \cdot 5 \cdot h. ]
Теперь упростим это уравнение:
[ 60 = 10h. ]
Разделим обе стороны уравнения на 10, чтобы найти ( h ):
[ h = \frac{60}{10} = 6. ]
Таким образом, длина образующей цилиндра равна 6 метрам.
