1) Конец B отрезка AB лежит в плоскости α. Точка C делит AB в отношении AC : CB = 3 : 4. Отрезок CD...

1) Поскольку точка C делит отрезок AB в отношении 3:4, то длина AC равна 3x, а длина CB равна 4x, где x - некоторая константа. Таким образом, длина отрезка AB равна 7x.

Поскольку CD параллелен плоскости α и равен 12 см, то по теореме Таллеса в треугольнике ACD можно найти длину AD: AC/CD = AD/DC, откуда AD = (ACDC)/CD = (3x12)/12 = 3x.

Теперь найдем длину отрезка BE. Так как AD пересекает плоскость α в точке E, то AE = AD. Также, поскольку AE и BE - это диагонали прямоугольника ABDE, то они равны. Следовательно, BE = AE = AD = 3x.

Итак, BE = 3x.

2) Поскольку плоскость параллельна прямой AB треугольника ABC, то она также параллельна стороне BC. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C подобны.

Из условия известно, что AA1 : A1C = 2 : 3, следовательно, длина отрезка AC равна 5x, а длина A1C равна 3x, где x - некоторая константа.

Так как треугольники ABC и A1B1C подобны, то отношение сторон AB и A1B1 равно отношению сторон AC и A1C. То есть AB/A1B1 = AC/A1C, откуда 25/A1B1 = 5/3.

Отсюда находим длину отрезка A1B1: A1B1 = (25*3)/5 = 15 см.

3) Поскольку плоскости α и β параллельны, то прямые AB и A1B1 также параллельны. Таким образом, A1B1 = AB = 5 см.

Давайте рассмотрим каждый из вопросов последовательно, с детальным анализом и пояснением.

Вопрос 1

Условие:

Конец B отрезка AB лежит в плоскости α. Точка C делит AB в отношении AC : CB = 3 : 4. Отрезок CD параллелен α и равен 12 см. Прямая AD пересекает α в точке E. Найдите BE.

Решение:

1. Пусть длина отрезка AB равна ( AB = l ). Тогда, согласно условию, точка C делит отрезок AB в отношении 3:4, что означает, что ( AC = \frac{3}{7}l ) и ( CB = \frac{4}{7}l ).

2. Рассмотрим плоскость α, в которой лежит точка B. Поскольку CD параллелен α, CD не оказывает влияния на положение точки E.

3. Прямая AD пересекает плоскость α в точке E. Нам нужно найти длину BE. Для этого учтем, что ( A, C ) и ( D ) лежат на одной прямой.

4. Мы знаем, что ( C ) делит ( AB ) в отношении 3:4, следовательно, ( E ) делит ( AD ) в том же отношении, так как D принадлежит прямой AD.

5. Если ( AD = l ), то ( AE = \frac{3}{7}AD ) и ( DE = \frac{4}{7}AD ).

6. Прямая BE перпендикулярна отрезку AD в точке E (так как B лежит в плоскости α).

Таким образом, длина BE будет равна ( \frac{4}{7} \times 12 = \frac{48}{7} \approx 6.857 \text{ см} ).

Вопрос 2

Условие:

Плоскость, параллельная прямой AB треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке A1, а сторону BC в точке B1. Найдите отрезок A1B1, если AB = 25см, AA1 : A1C = 2 : 3.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC, где ( AB = 25 \text{ см} ).

2. Пусть ( AA1 : A1C = 2 : 3 ). Это означает, что ( \frac{AA1}{A1C} = \frac{2}{3} ).

3. Поскольку плоскость, параллельная прямой AB, делит треугольник на подобные треугольники, треугольник ( A1B1C ) подобен треугольнику ( ABC ).

4. Коэффициент подобия равен (\frac{AA1}{AC} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}).

5. Тогда ( A1B1 = \frac{2}{5} AB = \frac{2}{5} \times 25 = 10 \text{ см} ).

Вопрос 3

Условие:

Даны параллельные плоскости α и β. Через точки A и B, плоскости α, проведены прямые, пересекающие плоскость β в точках A1 и B1. Найдите A1B1, если AB = 5см.

Решение:

1. Рассмотрим две параллельные плоскости α и β. Пусть точки A и B лежат на плоскости α.

2. Пусть через точки A и B проведены прямые, пересекающие плоскость β в точках A1 и B1 соответственно.

3. Поскольку плоскости α и β параллельны, то проекция отрезка AB на плоскость β будет параллельна и равна самому отрезку AB.

4. Следовательно, ( A1B1 ) будет равно ( AB ), так как проекции параллельных отрезков на параллельные плоскости равны.

Таким образом, ( A1B1 = AB = 5 \text{ см} ).

Рисунки

Чтобы визуализировать задачи, можно нарисовать соответствующие схемы для каждого из вопросов:

Вопрос 1:

A --------------- C -------------------- B (плоскость α)
 \               / 
  \             /
   \           /
    \         /
     \       /
      \     /
       \   /
        \ /
         E
         |
         D

Вопрос 2:

A ------------------------- C
 \
  \
   \
    \
     \
      A1---------B1
         \
          \
           \
            \
             \
              B

Вопрос 3:

A-------------B (плоскость α)
|
|
|
A1------------B1 (плоскость β)

Эти рисунки помогут лучше понять геометрические построения и взаимосвязь точек и отрезков в пространстве.