2.Треугольник ABC - правильный, точка O - его центр, прямая OM перпендикулярна к плоскости ABC
a)Докажите, что MA = MB = MC.
б)Найдите MA, если AB = 6 см, MO = 2см.
Условие: Через точку пересечения диагоналей ромба проведён к его плоскости перпендикуляр ( MO ) длиной 12 см. Диагонали ромба равны 18 см и 10 см. Найдите длину большей наклонной.
Рассмотрим диагонали ромба и их свойства:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали ромба ( AC = 18 \, \text{см} ) и ( BD = 10 \, \text{см} ). Точка пересечения диагоналей — ( O ) — делит их на отрезки: [ AO = CO = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{см}, ] [ BO = DO = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}. ]
Найдём расстояние от точки ( M ) до вершин ромба:
( MO = 12 \, \text{см} ) — перпендикуляр к плоскости ромба. Чтобы найти длину наклонной, воспользуемся формулой для расстояния от точки до вершины: [ MA = \sqrt{MO^2 + OA^2}. ] Аналогично, наклонные к другим вершинам ромба будут равны. Подставим значения: [ MA = \sqrt{MO^2 + OA^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}. ]
Ответ: Длина большей наклонной равна ( \mathbf{15 \, \text{см}} ).
Условие: Треугольник ( ABC ) — правильный, точка ( O ) — его центр, прямая ( OM ) перпендикулярна к плоскости треугольника.
а) Докажите, что ( MA = MB = MC ).
б) Найдите ( MA ), если ( AB = 6 \, \text{см} ), ( MO = 2 \, \text{см} ).
а) Докажем, что ( MA = MB = MC ):
В правильном треугольнике все стороны равны, а точка ( O ) — центр описанной окружности и центр тяжести треугольника. Это значит, что отрезки ( OA ), ( OB ), и ( OC ) равны, и точка ( O ) равноудалена от всех вершин треугольника.
Прямая ( OM ) перпендикулярна плоскости треугольника. Точка ( M ) — основание перпендикуляра ( OM ). Значит, ( MA ), ( MB ), и ( MC ) — наклонные, проведённые из ( M ) к вершинам треугольника.
Поскольку ( OA = OB = OC ), а ( OM ) одинаково удалено от всех вершин треугольника, наклонные ( MA ), ( MB ), ( MC ) равны по длине.
б) Найдём ( MA ):
Известно, что ( AB = 6 \, \text{см} ). В правильном треугольнике радиус описанной окружности (( R )) выражается через сторону ( AB ) по формуле: [ R = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см}. ]
Следовательно, ( OA = OB = OC = R = 2\sqrt{3} \, \text{см} ).
Точка ( M ) — основание перпендикуляра ( OM ) (( OM = 2 \, \text{см} )). Чтобы найти ( MA ), используем теорему Пифагора: [ MA = \sqrt{MO^2 + OA^2}. ]
Подставим значения: [ MA = \sqrt{MO^2 + OA^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2}. ]
Упростим выражение: [ MA = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \, \text{см}. ]
Ответы:
Ромб ABCD имеет диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O, являющейся центром ромба. Длины диагоналей равны 18 см и 10 см. По свойству ромба, диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Найдем длины половин диагоналей:
Найдем длину стороны ромба: Сторона ромба (например, AB) равна длине отрезка AO и BO, которые образуют прямоугольный треугольник AOB. Используем теорему Пифагора: [ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106} \approx 10.30 \text{ см} ]
Определим наклонную MO: Перпендикуляр MO опущен из точки M (вне плоскости) на плоскость ромба. Длина MO равна 12 см. Мы можем рассмотреть треугольник AMO, где AM — это наклонная, а MO — перпендикуляр.
По теореме Пифагора: [ AM^2 = AO^2 + MO^2 ] Подставляем значения: [ AM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 ] [ AM = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]
Таким образом, длина большей наклонной ромба составляет 15 см.
a) Докажите, что MA = MB = MC.
Пусть ABC — правильный треугольник, и O — его центр. В правильном треугольнике центр O совпадает с центром описанной окружности и находится на пересечении медиан. Поскольку AB = AC = BC, то расстояние от центра O до каждой из вершин (A, B, C) равно радиусу описанной окружности.
При этом прямая OM перпендикулярна к плоскости треугольника ABC, что означает, что точки A, B и C находятся на одной и той же высоте относительно прямой OM. Следовательно, расстояния от точки M до точек A, B и C равны, т.е.: [ MA = MB = MC ]
b) Найдите MA, если AB = 6 см, MO = 2 см.
Для правильного треугольника с длиной стороны AB = 6 см, радиус R описанной окружности (что также равно расстояниям от центра O до вершин A, B и C) можно найти по формуле: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]
Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника OMA, где OM — это перпендикуляр, а OA — радиус описанной окружности: [ MA^2 = OA^2 + MO^2 ] [ MA^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 ] [ MA = \sqrt{16} = 4 \text{ см} ]
Таким образом, длина MA составляет 4 см.
